交换极坐标系下二重积分的积分次序

一、题目题目 - 荒原之梦

交换如下二重积分的积分次序:

$$
I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r = ?
$$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

由题知:

$$
\theta \in\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right), \quad \mathrm{d} r=2 \cos \theta
$$

根据《圆的 3+1 种常用的极坐标方程》这篇文章,可以绘制出该二重积分的积分区域(阴影部分):

荒原之梦 | 交换极坐标系下二重积分的积分次序
图 01.

分析可知,如果要我们要对该积分区域改成“先对 $\theta$ 积分,后对 $r$ 积分”,则需要先将该积分区域,通过以 $OA = \sqrt{2}$ 为半径的圆(图中绿色虚线)进行分割,形成左右两部分。

其中,曲线段 $\stackrel\frown{O C}$, $\stackrel\frown{B C}$ 和 $\stackrel\frown{A B}$ 的表示方法如下:

$$
\stackrel\frown{O C} \Rightarrow r=2 \cos \theta \Rightarrow \frac{1}{2} r=\cos \theta \Rightarrow
$$

$$
\theta=\arccos \frac{1}{2} r
$$

$$
\stackrel\frown{B C} \Rightarrow \theta=\arccos \frac{1}{2} r
$$

$$
\stackrel\frown{A B} \Rightarrow \theta=-\arccos \frac{1}{2} r
$$

注意:

[1]. 因为极轴 $r > 0$, 且根据《反三角函数 arcsin x 和 arccos x 的关系》这篇文章可知,$\arccos$ 的函数图像始终是大于零的,因此,要表示 $\stackrel\frown{A B}$ 就需要对 $\stackrel\frown{B C}$ 的表达式取反。

[2]. 极坐标系下积分上下限的确定也满足“先交为下限,后交为上限”的规律。

综上,我们就可以完成极坐标系下积分区域的交换:

$$
I=\int_{0}^{\sqrt{2}} r \mathrm{d} r \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\arccos \frac{r}{2}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} \theta +
$$

$$
\int_{\sqrt{2}}^{2} r \mathrm{d} r \int_{-\arccos \frac{r}{2}}^{\arccos \frac{r}{2}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} \theta
$$


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