对二重积分交换积分次序的一个典型例题

一、题目

已知 $a>0$, 写出对二重积分 ${\int }_0^a\mathrm{d}y{\int }_0^{\sqrt{ay}}f(x,y)\mathrm{d}x$ $+$ ${\int }_a^{2a}\mathrm{d}y{\int }_0^{2a-y}f(x,y)\mathrm{d}x$ 交换积分次序后的新式子。

难度评级：

二、解析

由题知：

$$y\in (0,a)\Rightarrow$$

$$x=\sqrt{ay}\Rightarrow x^2=ay\Rightarrow y=\frac{x^2}{a}$$

以及：

$$y\in (a,2a)\Rightarrow$$

$$x=2a-y\Rightarrow y=-x+2a$$

综上可知绘制出该二重积分的积分区域：

于是：

$${\int }_0^a\mathrm{d}y{\int }_0^{\sqrt{ay}}f(x,y)\mathrm{d}x+{\int }_a^{2a}\mathrm{d}y{\int }_0^{2a-y}f(x,y)\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^a\mathrm{d}x{\int }_{\frac{x^2}{a}}^{2a-x}f(x,y)\mathrm{d}y$$