遇到数列求和就要考虑是否可以使用定积分的定义求解

一、题目

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}}{\sum_{k=1}^{n} \sqrt{n+k}} = ?
$$

难度评级：

解 题 思 路 简 图

graph TB
	a1(数列求和)
	a2(定积分的定义)
	a1 --> b1(构造出无穷小量)
	a2 --> b1
	b1 --> c1(确定取值区间)
	c1 --> d1(确定区间长度)
	d1 --> e1(将区间等分为无穷多份)
	e1 --> f1(根据定积分定义将原式转化为定积分)

二、解析

注意：

[1]. 在数列中，当我们说 $n \rightarrow \infty$ 时，其实就是说 $n$ $=$ $1, 2, ,3, \cdots, + \infty$.

[2]. 关于上述内容的扩展部分，可以查看荒原之梦网的《数列极限的定义中的“潜规则”》这篇文章。

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本题是一个数列求和的题目，遇到这类题目，我们就要想一想能否转化为定积分的定义进行求解——

如果要转化为定积分的定义进行求解，就需要构造出趋于零的无穷小量，因此：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \sqrt{ \frac{k}{n} }}{\sum_{k=1}^{n} \sqrt{ \frac{n+k}{n} }}.
$$

Next

同时，由于当 $k = 1$ 时，$\lim_{ n \rightarrowtail \infty } \frac{k}{n} = 0$, 当 $k = n$ 时，$\lim_{ n \rightarrowtail \infty } \frac{k}{n} = 1$, 因此，变量的取值范围是区间 $(0, 1)$. 接着，根据定积分的定义，我们需要将这个长度为 $1$ 的区间分成无穷多的 $n$ 等份，因此：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \sqrt{ \frac{k}{n} }}{\sum_{k=1}^{n} \sqrt{ \frac{n+k}{n} }} =
$$

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{ \frac{k}{n} }}{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{ \frac{n+k}{n} }} =
$$

Next

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{ \frac{k}{n} }}{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{ 1 + \frac{k}{n} }} =
$$

$$
\frac{\int_{0}^{1} \sqrt{x} \mathrm{d} x }{\int_{0}^{1} \sqrt{1 + x} \mathrm{d} x } =
$$

$$
\frac{\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \mathrm{d} x }{\int_{0}^{1} (1 + x)^{\frac{1}{2}} \mathrm{d} x } =
$$

$$
\frac{ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \big|_{0}^{1} }{\frac{2}{3} (1 + x)^{\frac{3}{2}} \big|_{0}^{1}} =
$$

$$
\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3} \cdot (2^{\frac{3}{2}} – 1) } =
$$

$$
\frac{1}{ 2^{\frac{3}{2}} – 1 } =
$$

$$
\frac{1}{ \sqrt{2^{3}} – 1 } =
$$

$$
\frac{1}{ 2 \sqrt{2} – 1 }.
$$

---