遇到数列求和就要考虑是否可以使用定积分的定义求解

一、题目

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sum _{k=1}^n\sqrt{k}}{\sum _{k=1}^n\sqrt{n+k}}=?$$

难度评级：

解 题 思 路 简 图

解题思路简图锚点

二、解析

注意：

[1]. 在数列中，当我们说 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，其实就是说 $n$ $=$ $1,2,,3,\cdots ,+\mathrm{\infty }$.

[2]. 关于上述内容的扩展部分，可以查看荒原之梦网的《数列极限的定义中的“潜规则”》这篇文章。

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本题是一个数列求和的题目，遇到这类题目，我们就要想一想能否转化为定积分的定义进行求解——

如果要转化为定积分的定义进行求解，就需要构造出趋于零的无穷小量，因此：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}}{\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{n+k}{n}}}.$$

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同时，由于当 $k=1$ 时，$\underset{n\rightarrowtail \mathrm{\infty }}{lim}\frac{k}{n}=0$, 当 $k=n$ 时，$\underset{n\rightarrowtail \mathrm{\infty }}{lim}\frac{k}{n}=1$, 因此，变量的取值范围是区间 $(0,1)$. 接着，根据定积分的定义，我们需要将这个长度为 $1$ 的区间分成无穷多的 $n$ 等份，因此：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}}{\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{n+k}{n}}}=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}}{\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{n+k}{n}}}=$$

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$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}}{\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{1+\frac{k}{n}}}=$$

$$\frac{{\int }_0^1\sqrt{x}\mathrm{d}x}{{\int }_0^1\sqrt{1+x}\mathrm{d}x}=$$

$$\frac{{\int }_0^1{x}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x}{{\int }_0^1(1+x{)}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x}=$$

$$\frac{\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}{|}_0^1}{\frac{2}{3}(1+x{)}^{\frac{3}{2}}{|}_0^1}=$$

$$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\cdot (2^{\frac{3}{2}}–1)}=$$

$$\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}–1}=$$

$$\frac{1}{\sqrt{2^3}–1}=$$

$$\frac{1}{2\sqrt{2}–1}.$$

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