隐函数结合变限积分的一个简单例题：遇到变限积分一般就要求导

一、题目

已知函数 $y = y(x)$ 是由方程 $x^{2}$ $+$ $\int_{0}^{y} (2 + \sin t^{2}) \mathrm{d} t$ $=$ $1$ 所确定的一个隐函数，则 $\mathrm{d} y = ?$

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二、解析

$$
x^{2} + \int_{0}^{y} (2 + \sin t^{2}) \mathrm{d} t = 1 \Rightarrow
$$

对 $x$ 进行求导运算 $\Rightarrow$

$$
2x + (2 + \sin y^{2}) \cdot y^{\prime} = 0 \Rightarrow
$$

需要记住：根据题意，$y$ 是 $x$ 的函数，因此，$y$ 实际上就是一个代指某个由 $x$ 组成的式子的符号。

Next

$$
2x + (2 + \sin y^{2}) \cdot \frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} x} = 0 \Rightarrow
$$

$$
(2 + \sin y^{2}) \cdot \mathrm{d} y = -2x \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{d} y = \frac{-2x \mathrm{d} x}{2 + \sin y^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{d} y = \frac{-2x}{2 + \sin y^{2}} \mathrm{d} x.
$$

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