一、题目
判断如下函数的渐近线的条数和类型：
$$
y = \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}
$$
难度评级：
二、解析 
关于求解函数渐近线的基础知识，可以查看 这篇文章。
Next 
1. 水平渐近线
首先判断是否存在水平渐近线：
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^{2}}{x} \cdot e^{\frac{1}{x}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x \cdot e^{0} = + \infty.
$$
Next
$$
\lim_{x \rightarrow – \infty} \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow – \infty} \frac{x^{2}}{x} \cdot e^{\frac{1}{x}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow – \infty} x \cdot e^{0} = – \infty.
$$
因此，该函数不存在水平渐近线。
Next
2. 倾斜渐近线
接着判断是否存在倾斜渐近线：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2} + 1}{x(x + 1)} \cdot e^{\frac{1}{x-1}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + x} \cdot e^{\frac{1}{x-1}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{x^{2}} \cdot e^{\frac{1}{x}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} 1 \cdot e^{0} = 1.
$$
因此，该函数存在一条倾斜渐近线。
Next
3. 垂直渐近线
最后判断垂直渐近线：
观察可知，对于函数 $y$ $=$ $\frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}$ 而言，有如下两个定义不存在的点：
$x$ $=$ $1$ 和 $x$ $=$ $-1$.
其中，根据指数函数的性质可知，在 $x$ $=$ $1$ 处，需要在左右两边分别讨论极限。
Next
于是：
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} 1 \cdot e^{\frac{1}{0^{+}}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} 1 \cdot e^{+ \infty} = + \infty
$$
Next
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} 1 \cdot e^{\frac{1}{0^{-}}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} 1 \cdot e^{- \infty} = 1 \cdot 0 = 0.
$$
Next
$$
\lim_{x \rightarrow (-1)} \frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{-2}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow (-1)} \frac{2}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{-2}} = \infty.
$$
因此，当 $x$ $\rightarrow$ $1^{+}$ 和 $x$ $\rightarrow$ $-1$ 时，存在两条垂直渐近线。
Next
综上可知，函数 $y$ $=$ $\frac{x^{2} + 1}{x + 1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}$ 存在 $1$ 条倾斜渐近线，存在 $2$ 条垂直渐近线。
该函数的函数图像示意图如下（其中红色实线为函数图象，虚线则为渐近线）：
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！