一、题目
下面的函数 $f(x)$ 有哪些类型的间断点：
$$
f(x) =
\left\{\begin{matrix}
\frac{2 – 2^{\frac{1}{x-1}}}{1 + 2^{\frac{1}{x-1}}}, & x \neq 1 \\
1 & x = 1
\end{matrix}\right.
$$
难度评级：
二、解析 
观察可知，函数 $f(x)$ 的间断点就位于 $x$ $=$ $1$ 处。
当 $x$ $\rightarrow$ $1^{+}$ 时，有：
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2 – 2^{\frac{1}{x-1}}}{1 + 2^{\frac{1}{x-1}}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2 – 2^{\frac{1}{0^{+}}}}{1 + 2^{\frac{1}{0^{+}}}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2 – 2^{+ \infty}}{1 + 2^{+ \infty}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2^{+ \infty}}{2^{+ \infty}} = 1.
$$
Next 
当 $x$ $\rightarrow$ $1^{-}$ 时，有：
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2 – 2^{\frac{1}{x-1}}}{1 + 2^{\frac{1}{x-1}}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2 – 2^{\frac{1}{0^{-}}}}{1 + 2^{\frac{1}{0^{-}}}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2 – 2^{- \infty}}{1 + 2^{- \infty}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2 – 0}{1 + 0} = 2.
$$
Next
综上可知，$x$ $=$ $1$ 是函数 $f(x)$ 的跳跃间断点。
