一、题目
下面的函数有无间断点，若有间断点，则分类讨论其间断点的类型：
$$
f(x) = \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}}
$$
难度评级：
二、解析 
首先，该函数是一个含有分式的函数，因此，可以从分母不能等于零的角度讨论其间断点，即：
$$
1 – x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1.
$$
$$
1 – e^{\frac{x}{1-x}} \neq 0 \Rightarrow x \neq 0.
$$
Next 
一、当 $x$ $=$ $1$ 时
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} (1-x) \rightarrow 0^{-} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x}{1-x} \rightarrow – \infty \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} e^{\frac{x}{1-x}} \rightarrow 0 \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}} = 1.
$$
Next
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} (1-x) \rightarrow 0^{+} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x}{1-x} \rightarrow + \infty \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} e^{\frac{x}{1-x}} \rightarrow + \infty \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}} = 0.
$$
因此，$x$ $=$ $1$ 是函数 $f(x)$ 的跳跃间断点。
Next
二、当 $x$ $=$ $0$ 时
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{1 – e^{\frac{x}{1-x}}} \Rightarrow
$$
应用等价无穷小 $\Rightarrow$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{- \frac{x}{1-x}} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \Big( x \cdot \frac{1-x}{-x} \Big) \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} (x – 1) = -1.
$$
因此，$x$ $=$ $0$ 是函数 $f(x)$ 的可去断点。
Next
综上可知，函数 $f(x)$ 存在两个间断点，其中，$x$ $=$ $1$ 是函数 $f(x)$ 的跳跃间断点，$x$ $=$ $0$ 是函数 $f(x)$ 的可去断点。
