常用的基本极限汇总

一、前言

熟练掌握本文中的基本极限，不仅可以提升解题速度，还可以增加对无穷量的理解，使得解题过程更加灵活。

二、正文

等价无穷小 $\sin x$ $\sim$ $x$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$

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特殊的 $1^{\infty}$ 形式

$$
\lim_{x \rightarrow 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e
$$

Next

等价无穷小 $a^{x}$ $-$ $1$ $\sim$ $x \ln a$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^{x} – 1}{x} = \ln a
$$

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实数的零次方等于 $1$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \sqrt[n]{n} = 1
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \sqrt[n]{a} = 1 (a > 0)
$$

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只考虑最大的无穷大

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{a_{n} x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0}}{b_{m} x^{m} + b_{m – 1} x_{m – 1} + \cdots + b_{1} x + b_{0}} = \left\{\begin{matrix}
\frac{a_{n}}{b_{n}}, n = m\\
0, n < m\\ \infty, n > m
\end{matrix}\right.
$$

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和 $1$ 有关的极限

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x^{n} = \left\{\begin{matrix}
0, |x| < 1\\
\infty, |x| > 1\\
1, x = 1 \\
不存在, x = -1
\end{matrix}\right.
$$

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借助函数图像判断极限

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{nx} = \left\{\begin{matrix}
0, x < 0\\
+\infty, x > 0\\
1, x = 0
\end{matrix}\right.
$$

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