基于极坐标系计算平面曲线的弧长（B007）

问题

若有极坐标系下的方程 $\rho$ $=$ $\rho (\theta )$, 且 $\alpha$ $⩽$ $\theta$ $⩽$ $\beta$, 则该极坐标方程在角度 $\theta$ 的取值范围 $[\alpha ,\beta ]$ 内的弧长 $L$ $=$ $?$

选项

[A].   $L$ $=$ ${\int }_{\alpha }^{\beta }$ $\sqrt{{\rho }^{\prime 2}(\theta )–{\rho }^{\prime 2}(\theta )}$ $\mathrm{d}\theta$

[B].   $L$ $=$ ${\int }_{\alpha }^{\beta }$ $\sqrt{{\rho }^2(\theta )–{\rho }^{\prime 2}(\theta )}$ $\mathrm{d}\theta$

[C].   $L$ $=$ ${\int }_{\alpha }^{\beta }$ $\sqrt{{\rho }^{\prime 2}(\theta )+{\rho }^2(\theta )}$ $\mathrm{d}\theta$

[D].   $L$ $=$ ${\int }_{\alpha }^{\beta }$ $\sqrt{{\rho }^2(\theta )+{\rho }^{\prime 2}(\theta )}$ $\mathrm{d}\theta$

   答 案   

$L$ $=$ ${\int }_{\alpha }^{\beta }$ $\sqrt{{\rho }^2(\theta )+{\rho }^{\prime 2}(\theta )}$ $\mathrm{d}\theta$