2016年考研数二第23题解析:相似对角化、特征值、特征向量、线性表示

题目

已知矩阵 $A = \begin{bmatrix}
0 & -1 & 1\\
2 & -3 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$.

$(Ⅰ)$ 求 $A^{99}$;

$(Ⅱ)$ 设 $3$ 阶矩阵 $B=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ 满足 $B^{2} = BA$. 记 $B^{100} = (\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3})$, 将 $\beta_{1}$, $\beta_{2}$, $\beta_{3}$ 分别表示为 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 的线性组合.

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2016年考研数二第22题解析:非齐次线性方程组、增广矩阵

题目

设矩阵 $A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1-a\\
1 & 0 & a\\
a+1 & 1 & a+1
\end{bmatrix}$, $\beta = \begin{bmatrix}
0\\
1\\
2a-2
\end{bmatrix}$, 且方程组 $Ax = \beta$ 无解.

$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值;

$(Ⅱ)$ 求方程组 $A^{\top} A x = A^{\top} \beta$ 的通解.

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2016年考研数二第21题解析:积分、变限积分、二重积分、零点

题目

已知函数 $f(x)$ 在 $[0, \frac{3 \pi}{2}]$ 上连续,在 $(0, \frac{3 \pi}{2})$ 内是函数 $\frac{\cos x}{2x – 3 \pi}$ 的一个原函数,且 $f(0) = 0$.

$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{3 \pi}{2}]$ 上的平均值;

$(Ⅱ)$ 证明 $f(x)$ 在区间 $(0, \frac{3 \pi}{2})$ 内存在唯一零点.

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2016年考研数二第20题解析:旋转体的体积和表面积、参数方程、一重定积分

题目

设 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ $(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 与 $\left\{\begin{matrix}
x= \cos ^{3} t;\\
y = \sin ^{3} t.
\end{matrix}\right.$ $(0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2})$ 围成的平面区域,求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

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2016年考研数二第19题解析:微分方程的降阶、一阶线性微分方程求解

题目

已知 $y_{1}(x) = e^{x}$, $y_{2}(x) = u(x) e^{x}$ 是二阶微分方程:

$$
(2x – 1) y^{”} – (2x + 1) y^{‘} + 2y = 0
$$

的两个解. 若 $u(-1) = e$, $u(0) = -1$, 求 $u(x)$, 并写出该微分方程的通解.

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2016年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、极坐标系下二重积分的计算

题目

设 $D$ 是由直线 $y = 1$, $y = x$, $y = – x$ 围成的有界区域,计算二重积分:

$$
\iint_{D} \frac{x^{2} – xy – y^{2}}{x^{2} + y^{2}}.
$$

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2015年考研数二第23题解析:相似矩阵、矩阵的相似对角化

题目

设矩阵 $A=\begin{bmatrix}
0 & 2 & -3\\
-1 & 3 & -3\\
1 & -2 & a
\end{bmatrix}$ 相似于矩阵 $B=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0\\
0 & b & 0\\
0 & 3 & 1
\end{bmatrix}$.

$(Ⅰ)$ 求 $a$, $b$ 的值;

$(Ⅱ)$ 求可逆矩阵 $P$, 使 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵.

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2015年考研数二第22题解析:矩阵、逆矩阵

题目

设矩阵 $A = \begin{bmatrix}
a & 1 & 0\\
1 & a & -1\\
0 & 1 & a
\end{bmatrix}$, 且 $A^{3} = O$.

$(Ⅰ)$ 求 $a$ 的值;

$(Ⅱ)$ 若矩阵 $X$ 满足 $X -$ $XA^{2} -$ $AX +$ $AXA^{2} =$ $E$, 其中 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵,求 $X$.

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2015年考研数二第21题解析:导数、函数的单调性与凹凸性

题目

已知函数 $f(x)$ 在区间 $[a, + \infty)$ 上具有二阶导数,$f(a)=0$, $f^{‘}(x) > 0$, $f^{”}(x) > 0$, 设 $b > a$, 曲线 $y = f(x)$ 在点 $(b, f(b))$ 处的切线与 $x$ 轴的交点是 $(x_{0}, 0)$. 证明:$a < x_{0} < b$.

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2015年考研数二第20题解析:物理应用、微分、一阶线性微分方程

题目

已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比,现将一初始温度为 $120$ ℃ 的物体在 $20$ ℃ 的恒温介质中冷却,$30$ min 后该物体温度降至 $30$ ℃, 若要将该物体的温度降至 $21$ ℃, 还需要冷却多长时间?

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2015年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、三角函数代换、华里士点火公式

题目

计算二重积分 $\iint_{D} x(x+y) {\rm d} x {\rm d} y$, 其中 $D=$ $\left\{(x,y) | x^{2} + y^{2} \leqslant 2, y \geqslant x^{2} \right\}$.

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