2018年考研数二第20题解析：积分、微分、直线方程

题目

已知曲线 $L:y=\frac{4}{9}{x}^2$ $(x⩾0)$, 点 $O(0,0)$, 点 $A(0,1)$. 设 $P$ 是 $L$ 上的动点, $S$ 是直线 $OA$ 与直线 $AP$ 及曲线 $L$ 所围图形的面积. 若 $P$ 运动到点 $(3,4)$ 时沿 $x$ 轴正向的速度是 $4$, 求此时 $S$ 关于时间 $t$ 的变化率.

解析

根据题目描述，我们可以绘制出如图 01 所示的示意图，其中阴影部分就是直线 $OA$ 与直线 $AP$ 及曲线 $L$ 所围成的图形：

分析可知，要求解特定时间点时，面积 $S$ 关于时间 $t$ 的变化率，就是求在该时间点时，面积 $S$ 的微分 $\mathrm{d}S$ 与时间 $t$ 的微分 $\mathrm{d}t$ 之间的比值：$\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}$.

为此，我们首先要求出面积 $S$ 的表达式，过程如下：

设点 $P$ 的坐标为：$(k,\frac{4}{9}{k}^2)$, 则：

由题可知，直线 $AP$ 的斜率为：

$$\frac{\frac{4}{9}{k}^2–1}{k–0}=\frac{4}{9}k–\frac{1}{k}.$$

于是，直线 $AP$ 的方程可表示为：

$$y=(\frac{4}{9}k–\frac{1}{k})x+1.$$

于是有：

$$S={\int }_0^k[(\frac{4}{9}k–\frac{1}{k})x+1]\mathrm{d}x–{\int }_0^k\frac{4}{9}{x}^2\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$S=(\frac{4}{9}k–\frac{1}{k}){\int }_0^{k}x\mathrm{d}x+k–\frac{4}{9}{\int }_0^k{x}^2\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$S=(\frac{4}{9}k–\frac{1}{k})\cdot \frac{1}{2}{k}^2+k–\frac{4}{9}\cdot \frac{1}{3}{k}^3\Rightarrow$$

$$S=\frac{2k^3}{9}–\frac{k}{2}+k–\frac{4k^3}{27}\Rightarrow$$

$$S=\frac{2k^3}{27}+\frac{k}{2}\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}k}=\frac{2k^2}{9}+\frac{1}{2}.$$

于是：

$$\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}k}\cdot \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}t}.$$

由于变量 $k$ 是点 $P$ 的横坐标，且由题可知，当点 $P$ 运动到点 $(3,4)$ 时沿 $x$ 轴正向的速度是 $4$, 于是：

$$\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}t}=4.$$

进而：

$$\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}k}\cdot \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}t}=$$

$$\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}k}\cdot 4=$$

$$4(\frac{2k^2}{9}+\frac{1}{2}).$$

将横坐标 $k=3$ 代入上式，可知，当点 $P$ 运动到点 $(3,4)$ 时，面积 $S$ 关于时间 $t$ 的变化率为：

$$4(2+\frac{1}{2})=8+2=10.$$