2018年考研数二第16题解析：变上限积分、一阶线性微分方程、积分中值定理

题目

已知连续函数 $f(x)$ 满足：

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{x}tf(x–t)\mathrm{d}t=a{x}^2.$$

$(\mathrm{Ⅰ})$ 求 $f(x)$

$(\mathrm{Ⅱ})$ 若 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的平均值为 $1$, 求 $a$ 的值.

解析

第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问

首先，由题可知：

$${\int }_0^{x}tf(x–t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$\mathrm{令}\{\begin{array}{c}u=x–t;\\ t=x–u.\end{array}\Rightarrow$$

$${\int }_x^0(x–u)f(u)\mathrm{d}(x–u)\Rightarrow$$

注：

[1]. 当 $t\in (0,x)$ 时，$x–t\in (x,0)$, 即 $u\in (x,0)$.

$$(-1)\cdot {\int }_x^0(x–u)f(u)\mathrm{d}u\Rightarrow$$

$${\int }_0^x(x–u)f(u)\mathrm{d}u\Rightarrow$$

$$x{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u–{\int }_0^{x}uf(u)\mathrm{d}u.$$

于是：

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{x}tf(x–t)\mathrm{d}t=a{x}^2\Rightarrow$$

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+x{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u–{\int }_0^{x}uf(u)\mathrm{d}u=a{x}^2\Rightarrow$$

$$\mathrm{等}\mathrm{号}\mathrm{两}\mathrm{端}\mathrm{同}\mathrm{时}\mathrm{求}\mathrm{导}\Rightarrow$$

$$f(x)+{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u+xf(x)–xf(x)=2ax\Rightarrow$$

$$f(x)+{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u=2ax\Rightarrow$$

$$\mathrm{等}\mathrm{号}\mathrm{两}\mathrm{端}\mathrm{再}\mathrm{次}\mathrm{同}\mathrm{时}\mathrm{求}\mathrm{导}\Rightarrow$$

$$f^{‘}(x)+f(x)=2a\Rightarrow$$

$$\mathrm{一}\mathrm{阶}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{微}\mathrm{分}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{求}\mathrm{解}\mathrm{公}\mathrm{式}\Rightarrow$$

$$f(x)=[\int 2a{e}^{\int 1\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C]\cdot e^{\int (-1)\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$f(x)=[2a\int e^x\mathrm{d}x+C]\cdot e^{-x}\Rightarrow$$

$$f(x)=(2a{e}^x+C)\cdot e^{-x}\Rightarrow$$

$$f(x)=2a+C{e}^{-x}.$$

又，当 $x=0$ 时，有：

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{x}tf(x–t)\mathrm{d}t=a{x}^2\Rightarrow$$

$${\int }_0^{0}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{0}tf(x–t)\mathrm{d}t=0\Rightarrow$$

$$0=0\Rightarrow$$

$$f(0)=0.$$

即：

$$f(0)=2a+C=0\Rightarrow$$

$$C=-2a.$$

于是：

$$f(x)=2a–2a{e}^{-x}\Rightarrow$$

$$f(x)=2a(1-e^{-x}).$$

第 $(\mathrm{Ⅱ})$ 问

结合第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问，可得：

$$\frac{{\int }_0^{1}2a(1-e^{-x})\mathrm{d}x}{1–0}=1\Rightarrow$$

$${\int }_0^{1}2a(1-e^{-x})\mathrm{d}x=1\Rightarrow$$

$$2a{\int }_0^1\mathrm{d}x–2a{\int }_0^1{e}^{-x}\mathrm{d}x=1\Rightarrow$$

$$2a–2a\cdot (-e^{-x}{|}_0^1)=1\Rightarrow$$

$$2a–2a(\frac{-1}{e}+1)\Rightarrow$$

$$2a–2a(1–\frac{1}{e})\Rightarrow$$

$$2a–2a+\frac{2a}{e}=1\Rightarrow$$

$$\frac{2a}{e}=1\Rightarrow$$

$$2a=e\Rightarrow$$

$$a=\frac{e}{2}.$$