题目
设函数 $f(u,v)$ 具有二阶连续偏导数，$y =$ $f(e^{x}, \cos x)$, 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}|_{x = 0}$, $\frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}|_{x = 0}$.
解析
由题可知，当 $x = 0$ 时：
$$
\left\{\begin{matrix}
e^{x} = 1;\\
\cos x = 1;\\
\sin x = 0.
\end{matrix}\right.
$$
一、计算 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}|_{x = 0}$.
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =
$$
$$
\frac{\mathrm{d} f(e^{x}, \cos x)}{\mathrm{d} x} =
$$
$$
f^{‘}_{1} \cdot e^{x} + f^{‘}_{2} \cdot (- \sin x) \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =f^{‘}_{1} \cdot e^{x} – f^{‘}_{2} \cdot \sin x} \quad {\color{White} ① }.
$$
当 $x = 0$ 时，有：
$$
f^{‘}_{1} \cdot e^{x} – f^{‘}_{2} \cdot \sin x =
$$
$$
f^{‘}_{1}(1,1).
$$
即：
$$
{\color{Red}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}|_{x = 0} = f^{‘}_{1}(1,1)} \quad {\color{White} ② }.
$$
二、计算 $\frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}|_{x = 0}$.
$$
\frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}|_{x = 0} =
$$
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}) =
$$
$$
{\color{White}代入 ① 式 \Rightarrow}
$$
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(f^{‘}_{1} \cdot e^{x} – f^{‘}_{2} \cdot \sin x) =
$$
注：
[1]. 求导前代入数字 $0$ 得零的式子，求导后再代入数字 $0$ 不一定也得零，例如 $\sin x|_{x = 0} = 0$, 但 $(\sin x)^{‘}_{x}|_{x = 0} =$ $\cos x|_{x = 0} = 1$. 因此，我们上面代入的是 $①$ 式，而不是 $②$ 式。
$$
(f^{‘}_{1})^{‘}_{x} \cdot e^{x} + f^{‘}_{1} \cdot (e^{x})^{‘}_{x} – [(f^{‘}_{2})^{‘}_{x} \cdot \sin x + f^{‘}_{2} \cdot (\sin x)^{‘}_{x}] =
$$
$$
(f^{‘}_{1})^{‘}_{x} \cdot e^{x} + f^{‘}_{1} \cdot e^{x} – [(f^{‘}_{2})^{‘}_{x} \cdot \sin x + f^{‘}_{2} \cdot \cos x] =
$$
$$
{\color{Red}
(f^{”}_{11} \cdot e^{x} – f^{”}_{12} \cdot \sin x) \cdot e^{x} + f^{‘}_{1} \cdot e^{x} – [(f^{”}_{21} \cdot e^{x} – f^{”}_{22} \cdot \sin x) \cdot \sin x + f^{‘}_{2} \cdot \cos x]} \quad {\color{White} ③ }.
$$
注：
[1]. 为了计算方便，这里不需要再对上面的 $③$ 式进行组合整理，直接将 $x = 0$ 代入，计算出最终结果即可;
[2]. 计算出 $③$ 式的过程不需要过多技巧，但是有些繁琐，为了尽可能防止计算出错，可以像本文中所演示的求解步骤一样，渐进式得逐层求解。
当 $x = 0$ 时，由 $③$ 式可得：
$$
\frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}|_{x = 0} = f^{”}_{11}(1,1) + f^{‘}_{1}(1,1) – f^{‘}_{2}(1,1).
$$