2017年考研数二第16题解析：二阶偏导数、复合函数求导

题目

设函数 $f(u,v)$ 具有二阶连续偏导数，$y=$ $f(e^x,\cos x)$, 求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=0}$, $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{x=0}$.

解析

由题可知，当 $x=0$ 时：

$$\{\begin{array}{c}{e}^x=1;\\ \cos x=1;\\ \sin x=0.\end{array}$$

一、计算 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=0}$.

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=$$

$$\frac{\mathrm{d}f(e^x,\cos x)}{\mathrm{d}x}=$$

$$f_1^{‘}\cdot e^x+f_2^{‘}\cdot (-\sin x)\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f_1^{‘}\cdot e^x–f_2^{‘}\cdot \sin x\mathrm{①}.$$

当 $x=0$ 时，有：

$$f_1^{‘}\cdot e^x–f_2^{‘}\cdot \sin x=$$

$$f_1^{‘}(1,1).$$

即：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=0}=f_1^{‘}(1,1)\mathrm{②}.$$

二、计算 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{x=0}$.

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{x=0}=$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})=$$

$$\mathrm{代}\mathrm{入}\mathrm{①}\mathrm{式}\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f_1^{‘}\cdot e^x–f_2^{‘}\cdot \sin x)=$$

注：

[1]. 求导前代入数字 $0$ 得零的式子，求导后再代入数字 $0$ 不一定也得零，例如 $\sin x{|}_{x=0}=0$, 但 $(\sin x{)}_x^{‘}{|}_{x=0}=$ $\cos x{|}_{x=0}=1$. 因此，我们上面代入的是 $\mathrm{①}$ 式，而不是 $\mathrm{②}$ 式。

$$(f_1^{‘}{)}_x^{‘}\cdot e^x+f_1^{‘}\cdot (e^x{)}_x^{‘}–[(f_2^{‘}{)}_x^{‘}\cdot \sin x+f_2^{‘}\cdot (\sin x{)}_x^{‘}]=$$

$$(f_1^{‘}{)}_x^{‘}\cdot e^x+f_1^{‘}\cdot e^x–[(f_2^{‘}{)}_x^{‘}\cdot \sin x+f_2^{‘}\cdot \cos x]=$$

$$(f_{11}^{”}\cdot e^x–f_{12}^{”}\cdot \sin x)\cdot e^x+f_1^{‘}\cdot e^x–[(f_{21}^{”}\cdot e^x–f_{22}^{”}\cdot \sin x)\cdot \sin x+f_2^{‘}\cdot \cos x]\mathrm{③}.$$

注：

[1]. 为了计算方便，这里不需要再对上面的 $\mathrm{③}$ 式进行组合整理，直接将 $x=0$ 代入，计算出最终结果即可;

[2]. 计算出 $\mathrm{③}$ 式的过程不需要过多技巧，但是有些繁琐，为了尽可能防止计算出错，可以像本文中所演示的求解步骤一样，渐进式得逐层求解。

当 $x=0$ 时，由 $\mathrm{③}$ 式可得：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{x=0}=f_{11}^{”}(1,1)+f_1^{‘}(1,1)–f_2^{‘}(1,1).$$