2016年考研数二第15题解析：无穷小、$e$ 抬起、两个重要无穷小

题目

编号：A2016215

求极限：

$lim_{x \to 0} (\cos 2 x + 2 x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}} .$

解析

方法一

观察可知，通过题目所给的式子可以构造出 $1^{\infty} = e$ 形式的极限：

$lim_{x \to 0} (\cos 2 x + 2 x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}} \Rightarrow$

$lim_{x \to 0} [1 + (\cos 2 x + 2 x \sin x - 1)]^{\frac{1}{x^{4}}} \Rightarrow$

$lim_{x \to 0} [1 + (\cos 2 x + 2 x \sin x - 1)]^{\frac{1}{\cos 2 x + 2 x \sin x - 1} \cdot \frac{\cos 2 x + 2 x \sin x - 1}{1} \cdot \frac{1}{x^{4}}} \Rightarrow$

$lim_{x \to 0} e^{\frac{\cos 2 x + 2 x \sin x - 1}{x^{4}}} \Rightarrow$

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\cos 2 x + 2 x \sin x - 1}{x^{4}}} .$

接着，由麦克劳林公式，可得：

$\cos 2 x = 1 - \frac{(2 x)^{2}}{2!} + \frac{(2 x)^{4}}{4!} \Rightarrow$

$\cos 2 x = 1 - 2 x^{2} + \frac{2}{3} x^{4} + o (x^{4}) .$

$x \sin x = x (x - \frac{1}{6} x^{3}) \Rightarrow$

$x \sin x = x^{2} - \frac{1}{6} x^{4} + o (x^{4}) .$

于是：

$lim_{x \to 0} \frac{\cos 2 x + 2 x \sin x - 1}{x^{4}} =$

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 x^{2} + \frac{2}{3} x^{4} + 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{4} - 1}{x^{4}} =$

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} x^{4}}{x^{4}} = \frac{1}{3} .$

即：

$lim_{x \to 0} (\cos 2 x + 2 x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}} =$

$lim_{x \to 0} e^{\frac{\cos 2 x + 2 x \sin x - 1}{x^{4}}} = e^{\frac{1}{3}} .$

方法二

对于题目所给的式子 $lim_{x \to 0} (\cos 2 x + 2 x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}}$ , 我们也可以通过“ $e$ 抬起法”对其进行处理：

$lim_{x \to 0} (\cos 2 x + 2 x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}} \Rightarrow$

$e^{\ln lim_{x \to 0} (\cos 2 x + 2 x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}}} \Rightarrow$

$e^{lim_{x \to 0} \ln (\cos 2 x + 2 x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}}} \Rightarrow$

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{4}} \ln (\cos 2 x + 2 x \sin x)} \Rightarrow$

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos 2 x + 2 x \sin x)}{x^{4}}} \Rightarrow$

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \cos 2 x + 2 x \sin x - 1)}{x^{4}}} \Rightarrow$

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\cos 2 x + 2 x \sin x - 1}{x^{4}}} .$

接下来，我们就可以按照上面的方法一或者下面的方法三中处理式子 $lim_{x \to 0} \frac{\cos 2 x + 2 x \sin x - 1}{x^{4}}$ 的方式继续完成剩余的计算。

方法三

对于式子 $lim_{x \to 0} \frac{\cos 2 x + 2 x \sin x - 1}{x^{4}}$ , 我们也可以使用不断进行洛必达运算的方法进行化简，不过，在化简的过程中要时刻注意当前式子是否还满足继续进行洛必达运算的条件：

$lim_{x \to 0} \frac{\cos 2 x + 2 x \sin x - 1}{x^{4}} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow$

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin 2 x + 2 \sin x + 2 x \cos x}{4 x^{3}} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow$

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \cos 2 x + 2 \cos x + 2 \cos x - 2 x \sin x}{12 x^{2}} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow$

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sin 2 x - 2 \sin x - 2 \sin x - 2 \sin x - 2 x \cos x}{24 x} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow$

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sin 2 x - 6 \sin x - 2 x \cos x}{24 x} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow$

$lim_{x \to 0} \frac{16 \cos 2 x - 6 \cos x - 2 \cos x + 2 x \sin x}{24} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow$

$\frac{16 - 6 - 2}{24} = \frac{1}{3} .$

题目

解析

方法一

方法二

方法三

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