2015年考研数二第15题解析：等价无穷小、麦克劳林公式

题目

设函数 $f(x)=$ $x+$ $a\ln (1+x)+$ $bx\sin x$, $g(x)=$ $k{x}^3$. 若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x\to 0$ 时是等价无穷小，求 $a$, $b$, $k$ 的值.

解析

对于此类的求等价无穷小的问题，一般的解题思路如下：

1. 首先检查是否可以套用常用等价无穷小公式或者常用等价无穷小公式的变形形式；
2. 如果不能套用常用等价无穷小公式，则检查是否可以利用洛必达法则计算；
3. 最后，如果变量的次幂不是很高，也可以考虑引入麦克劳林公式进行计算。

对于本题而言，套用等价无穷小的公式较困难，利用洛必达法则的计算量也较大，因此，最好的处理方法是引入麦克劳林公式。

根据麦克劳林公式可知，当 $x\to 0$ 时，有：

$$\ln (1+x)=x–\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^3);$$

$$\sin x=x–\frac{x^3}{6}+O(x^3).$$

于是：

$$f(x)=$$

$$x+a\ln (1+x)+bx\sin x=$$

$$x+a(x–\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3})+bx(x–\frac{x^3}{6})+O(x^3)=$$

$$x+ax–\frac{a}{2}{x}^2+\frac{a}{3}{x}^3+b{x}^2–\frac{b}{6}{x}^4+O(x^3)=$$

$$(a+1)x+(b-\frac{a}{2})x^2+\frac{a}{3}{x}^3–\frac{b}{6}{x}^4+O(x^3).$$

又：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=1.$$

于是：

$$\{\begin{array}{c}a+1=0;\\ b-\frac{a}{2}=0;\\ \frac{a}{3}=k\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{c}a=–1;\\ b=\frac{-1}{2};\\ k=\frac{-1}{3}.\end{array}$$