2014年考研数二第19题解析：变上限积分、函数的单调性、积分中值定理

题目

设 $f(x)$, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(x)$ 单调增加，$0⩽g(x)⩽1$, 证明：

$(\mathrm{Ⅰ})$ $0⩽{\int }_a^{x}g(t)dt$ $⩽x-a$, $x\in [a,b]$;

$(\mathrm{Ⅱ})$ ${\int }_a^{a+{\int }_a^{b}g(t)dt}f(x)dx$ $⩽$ ${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx$.

解析

第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问

方法一

由题知：

$$0⩽g(x)⩽1.$$

于是：

$${\int }_a^{x}0dt⩽{\int }_a^{x}g(t)dt⩽{\int }_a^{x}1dt.$$

又：

$${\int }_a^{x}0dt=0;$$

$${\int }_a^{x}1dt=x-a.$$

于是：

$${\int }_a^{x}0dt⩽{\int }_a^{x}g(t)dt⩽{\int }_a^{x}1dt\Rightarrow$$

$$0⩽{\int }_a^{x}g(t)dt⩽x-a.$$

方法二

构造辅助函数 $F(x)$, 令：

$$F(x)=x-a–{\int }_a^{x}g(t)dt.$$

则：

$$F^{‘}(x)=1-g(x).$$

又由题知 $g(x)⩽1$, 于是：

$$F^{‘}(x)⩾0.$$

所以，函数 $F(x)$ 在定义域 $[a,b]$ 上单调增加或者不变（即，【不】单调递减）。

又：

$$F(a)=a-a–{\int }_a^{a}g(t)dt\Rightarrow$$

$$F(a)=0.$$

于是，函数 $F(x)$ 在定义域 $[a,b]$ 上的最小值为 $0$, 即：

$$F(x)⩾0\Rightarrow$$

$$x-a–{\int }_a^{x}g(t)dt⩾0\Rightarrow$$

$$x-a⩾{\int }_a^{x}g(t)dt⩾0\Rightarrow$$

$$0⩽{\int }_a^{x}g(t)dt⩽x-a.$$

方法三

由积分中值定理可知，存在 $\xi \in [a,b]$, 使得下式成立：

$${\int }_a^{x}g(t)dt=g(\xi )(x-a).$$

又由于 $0⩽g(x)⩽1$, 于是：

$$0\cdot (x-a)⩽g(\xi )(x-a)⩽1\cdot (x-a)\Rightarrow$$

$$0⩽g(\xi )(x-a)⩽x-a\Rightarrow$$

$$0⩽{\int }_a^{x}g(t)dt⩽x-a.$$

第 $(\mathrm{Ⅱ})$ 问

构造辅助函数 $F(x)$, 令：

$$F(x)=$$

$${\int }_a^{x}f(u)g(u)du–{\int }_a^{a+{\int }_a^{x}g(t)dt}f(u)du.$$

由题知，$f(x)$ 和 $g(x)$ 在定义域 $[a,b]$ 上连续，因此，函数 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且：

$$F^{‘}(x)=$$

$$f(x)g(x)–g(x)f[a+{\int }_a^{x}g(t)dt].$$

又由第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问可知，${\int }_a^{x}g(t)dt⩽x-a$, 于是：

$$g(x)f[a+{\int }_a^{x}g(t)dt]⩽g(x)f[a+(x-a)]\Rightarrow$$

$$g(x)f[a+{\int }_a^{x}g(t)dt]⩽g(x)f(x)\Rightarrow$$

$$f(x)g(x)–g(x)f[a+{\int }_a^{x}g(t)dt]⩾f(x)g(x)–g(x)f(x).$$

又：

$$f(x)g(x)–g(x)f(x)=0.$$

于是：

$$f(x)g(x)–g(x)f[a+{\int }_a^{x}g(t)dt]⩾0\Rightarrow$$

$$F^{‘}(x)⩾0.$$

所以，函数 $F(x)$ 是一个单调递增或者不变的函数（即，【不】单调递减）。

又：

$$F(a)=$$

$${\int }_a^{a}f(u)g(u)du–{\int }_a^{a+{\int }_a^{a}g(t)dt}f(u)du=$$

$${\int }_a^{a}f(u)g(u)du–{\int }_a^{a+0}f(u)du=0.$$

于是，在定义域 $[a,b]$ 上，有：

$$F(x)⩾0.$$

又由于 $b⩾a$, 因此：

$$F(b)⩾0\Rightarrow$$

$$F(b)={\int }_a^{b}f(u)g(u)du–{\int }_a^{a+{\int }_a^{b}g(t)dt}f(u)du⩾0\Rightarrow$$

$${\int }_a^{b}f(u)g(u)du⩾{\int }_a^{a+{\int }_a^{b}g(t)dt}f(u)du\Rightarrow$$

$${\int }_a^{a+{\int }_a^{b}g(t)dt}f(u)du⩽{\int }_a^{b}f(u)g(u)du\Rightarrow$$

$${\int }_a^{a+{\int }_a^{b}g(t)dt}f(x)dx⩽{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx.$$