2013年考研数二第05题解析

题目

设 $z=\frac{y}{x}f(xy)$, 其中函数 $f$ 可微，则 $\frac{x}{y}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=?$

$$A.2y{f}^{‘}(xy)$$

$$B.-2y{f}^{‘}(xy)$$

$$C.\frac{2}{x}f(xy)$$

$$D.-\frac{2}{x}f(xy)$$

解析

本题就是考察复合函数求偏导的知识。

为了使本题中的复合函数更明显，我们设 $u=xy$, 则有：

$$z=\frac{y}{x}f(u).$$

于是：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=$$

$$y(-\frac{1}{x^2})f(u)+\frac{y}{x}\frac{\partial f(u)}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}.$$

$$\frac{\partial z}{\partial y}=$$

$$\frac{1}{x}f(u)+\frac{y}{x}\frac{\partial f(u)}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}.$$

又：

$$u=xy.$$

所以：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=y.$$

$$\frac{\partial u}{\partial y}=x.$$

于是：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=$$

$$y(-\frac{1}{x^2})f(u)+\frac{y}{x}\frac{\partial f(u)}{\partial u}y.$$

$$\frac{\partial z}{\partial y}=$$

$$\frac{1}{x}f(u)+\frac{y}{x}\frac{\partial f(u)}{\partial u}x.$$

于是：

$$\frac{x}{y}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=$$

$$\frac{x}{y}[y(-\frac{1}{x^2})f(u)+\frac{y}{x}\frac{\partial f(u)}{\partial u}y]+$$

$$\frac{1}{x}f(u)+\frac{y}{x}\frac{\partial f(u)}{\partial u}x=$$

$$-\frac{1}{x}f(u)+\frac{\partial f(u)}{\partial u}y+\frac{1}{x}f(u)+y\frac{\partial f(u)}{\partial u}=$$

$$2y\frac{\partial f(u)}{\partial u}.\mathrm{①}$$

又因为 $f(u)$ 是 $u$ 的函数，所以：

$$\frac{\partial f(u)}{\partial u}=f^{‘}(u)=f^{‘}(xy).$$

于是：

$$\mathrm{①}=2y{f}^{‘}(xy).$$

综上可知，正确选项为 $A$.

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