题目
设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} – x_{2}^{2} + 2a x_{1}x_{3} + 4 x_{2}x_{3}$ 的负惯性指数是 $1$, 则 $a$ 的取值范围为 $?$
解析
由题可知，二次型 $f$ 的矩阵 $A=$
$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 & a\\
0 & -1 & 2\\
a & 2 & 0
\end{vmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 & a\\
0 & -1 & 2\\
a & 0 & 4
\end{vmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 & a\\
0 & -1 & 2\\
0 & 0 & 4-a^{2}
\end{vmatrix}
$$
所以，$A$ 的特征值为：
$$
1, -1, 4-a^{2}.
$$
又因为，二次型 $f$ 的负惯性指数为 $1$, 因此，只能有：
$$
4-a^{2} \geqslant 0 \Rightarrow
$$
$$
4 \geqslant a^{2} \Rightarrow
$$
$$
2 \geqslant a \geqslant -2.
$$
注意：考虑取值或者取值范围的时候，要多想一想能不能取到 $0$, 有时候，极易忽略取值为 $0$ 的情况。
综上可知，正确答案为 $[-2, 2]$.
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