2014年考研数二第14题解析

题目

设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2–x_2^2+2a{x}_1{x}_3+4x_2{x}_3$ 的负惯性指数是 $1$, 则 $a$ 的取值范围为 $?$

解析

由题可知，二次型 $f$ 的矩阵 $A=$

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& -1& 2\\ a& 2& 0\end{array}\right|\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& -1& 2\\ a& 0& 4\end{array}\right|\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& -1& 2\\ 0& 0& 4-a^2\end{array}\right|$$

所以，$A$ 的特征值为：

$$1,-1,4-a^2.$$

又因为，二次型 $f$ 的负惯性指数为 $1$, 因此，只能有：

$$4-a^2⩾0\Rightarrow$$

$$4⩾a^2\Rightarrow$$

$$2⩾a⩾-2.$$

注意：考虑取值或者取值范围的时候，要多想一想能不能取到 $0$, 有时候，极易忽略取值为 $0$ 的情况。

综上可知，正确答案为 $[-2,2]$.

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