题目
一根长为 $1$ 的细棒位于 $x$ 轴的区间 $[0,1]$ 上，若其线密度 $\rho (x) = – x^{2} + 2x + 1$, 则该细棒的质心坐标 $\bar{x} = ?$
解析
由题可知，要求质心坐标的其实就是一条位于 $x$ 轴上 $[0,1]$ 区间内的“直线”，因此，它的质心坐标只有 $\bar{x}$, 没有 $\bar{y}$.
又知：
$$
\bar{x} = \frac{\int_{L} x \rho ds}{\int_{L} \rho ds}.
$$
通常情况下：
$$
ds = \sqrt{(dx)^{2} + (dy)^{2}}.
$$
但在本题中，细棒是直接位于 $x$ 轴上的，因此：
$$
ds = dx.
$$
于是：
$$
\bar{x} = \frac{\int_{L} x \rho dx}{\int_{L} \rho dx}.
$$
又：
$$
\int_{L} \rho dx =
$$
$$
\int_{0}^{1} (- x^{2} + 2x + 1) dx =
$$
$$
-\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + x |_{0}^{1} =
$$
$$
\frac{5}{3}.
$$
$$
\int_{L} x \rho dx =
$$
$$
\int_{0}^{1} (-x^{3} + 2x^{2} + x) dx =
$$
$$
-\frac{1}{4}x^{4} + \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} |_{0}^{1} =
$$
$$
\frac{11}{12}.
$$
于是：
$$
\bar{x} = \frac{11}{12} \cdot \frac{3}{5} =
$$
$$
\frac{11}{20}.
$$
综上可知，正确答案为 $\frac{11}{20}$.
EOF