2015年考研数二第10题解析

题目

设函数 $f(x)=x^2{2}^x$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0)=?$

解析

方法一：

对于此类涉及 $n$ 的问题，也就是涉及【无限多个】或者【任意多个】的问题，如果要找的答案是关于 $2n$ 或者 $2n+1$ 的，那么，题中的式子经过一定的计算之后一定会显示出和奇偶性有关的某种规律。如果要找的答案是仅仅和 $n$ 有关的，那么，题中的式子经过一定的计算之后一定会显示出某种和 $n$ 本身有关的规律。

所以，对于此类问题，一个最直接但却有些繁杂的解决方法就是从 $n=0$ 或者 $n=1$（具体从哪里开始要看题意）开始多计算几个式子，寻找其中的规律。

使用这样的解法最重要的是认真计算，绝对不能出错。

对于 $f^{‘}(0)$ :

$$f^{‘}(x)=$$

$$(x^2{2}^x{)}^{‘}=$$

$$2\times 2^x+x^2{2}^x\ln 2.$$

$$f^{‘}(0)=0+0=0.$$

对于 $f^{”}(0)$ :

$$f^{”}(x)=$$

$$(f^{‘}(x){)}^{‘}=$$

$$(2\times 2^x+x^2{2}^x\ln 2{)}^{‘}=$$

$$(2\times 2^x{)}^{‘}+(x^2{2}^x\ln 2{)}^{‘}=$$

$$2\cdot 2^x+2x{2}^x\ln 2+$$

$$\ln 2\cdot 2x{2}^x+\ln 2x^2{2}^x\ln 2.$$

$$f^{”}(0)=2\cdot 1+0+0+0=2.$$

对于 $f^{{”}^{\prime }}(0)$ :

$$f^{{”}^{\prime }}(x)=$$

$$(f^{”}(x){)}^{‘}=$$

$$(2\cdot 2^x{)}^{‘}+(2x{2}^x\ln 2{)}^{‘}+$$

$$(\ln 2\cdot 2x{2}^x{)}^{‘}+(\ln 2x^2{2}^x\ln 2{)}^{‘}=$$

$$2\cdot 2^x\ln 2+$$

$$2\ln 2\cdot 2^x+$$

$$2\ln 2\cdot x{2}^x\ln 2+$$

$$2\ln 2\cdot 2^x+$$

$$2\ln 2\cdot x{2}^x\ln 2+$$

$$\ln 2\cdot \ln 2\cdot 2x{2}^x+$$

$$\ln 2\ln 2\cdot x^2{2}^x\ln 2.$$

$$f^{{”}^{\prime }}(0)=$$

$$2\ln 2+2\ln 2+0+2\ln 2+0+0+0=$$

$$2\times 3\times \ln 2.$$

注意：为了能更方便地推导出通用的结论，每一步演算所得的结果最好用运算表达式写出来，而不要进行合并计算，例如上式中，要写 $2\times 3$, 而不是 $6$.

对于 $f^{””}(0)$ :

$$f^{””}(0)=$$

$$(f^{{”}^{\prime }}(0){)}^{‘}=$$

$$(2\cdot 2^x\ln 2{)}^{‘}+$$

$$(2\ln 2\cdot 2^x{)}^{‘}+$$

$$(2\ln 2\cdot x{2}^x\ln 2{)}^{‘}+$$

$$(2\ln 2\cdot 2^x{)}^{‘}+$$

$$(2\ln 2\cdot x{2}^x\ln 2{)}^{‘}+$$

$$(\ln 2\cdot \ln 2\cdot 2x{2}^x{)}^{‘}+$$

$$(\ln 2\ln 2\cdot x^2{2}^x\ln 2{)}^{‘}\Rightarrow$$

$$\mathrm{具}\mathrm{体}\mathrm{求}\mathrm{导}\mathrm{过}\mathrm{程}\mathrm{省}\mathrm{略}\Rightarrow$$

$$f^{””}(0)=2\times (\ln 2{)}^2\times 6.$$

至此，我们得到了如下结果：

$$f^{‘}(0)=0;$$

$$f^{”}(0)=2;$$

$$f^{{”}^{\prime }}(0)=2\times 3\times \ln 2;$$

$$f^{””}(0)=2\times 6\times (\ln 2{)}^2\Rightarrow$$

$$f^{””}(0)=3\times 4\times (\ln 2{)}^2.$$

于是，可推想：

$$f^{‘}(0)=(1)(1-1)(\ln 2{)}^{1-2};$$

$$f^{”}(0)=(2)(2-1)(\ln 2{)}^{2-2};$$

$$f^{{”}^{\prime }}(0)=(3)(3-1)(\ln 2{)}^{3-2};$$

$$f^{””}(0)=(4)(4-1)(\ln 2{)}^{4-2}.$$

于是：

$$f^{(n)}(0)=n(n-1)(\ln 2{)}^{n-2}.$$

注意：方法一计算过程耗时过多，除非没有其他思路且做完其它题目之后仍有剩余时间，否则，不要使用该方法。

方法二：

本题涉及对 $x^2$ 和 $2^x$ 求 $n$ 阶导的问题，因此，可以使用莱布尼兹公式。

$$(x^2{2}^x{)}^{(n)}=$$

$$C_n^0(x^2{)}^{(0)}(2^x{)}^{(n)}+$$

$$C_n^1(x^2{)}^{(1)}(2^x{)}^{(n-1)}+$$

$$C_n^2(x^2{)}^{(2)}(2^x{)}^{(n-2)}+$$

$$\dots$$

$$C_n^n(x^2{)}^{(n)}(2^x{)}^{(0)}.$$

又：

$$(x^2{)}^{(0)}=x^2;$$

$$(x^2{)}^{(1)}=2x;$$

$$(x^2{)}^{(2)}=2;$$

$$(x^2{)}^{(3)}=0.$$

于是：

$$(x^2{2}^x{)}^{(n)}=$$

$$C_n^0(x^2{)}^{(0)}(2^x{)}^{(n)}+$$

$$C_n^1(x^2{)}^{(1)}(2^x{)}^{(n-1)}+$$

$$C_n^2(x^2{)}^{(2)}(2^x{)}^{(n-2)}=$$

$$C_n^0(x^2)(2^x{)}^{(n)}+$$

$$C_n^1(2x)(2^x{)}^{(n-1)}+$$

$$C_n^2(2)(2^x{)}^{(n-2)}.$$

当 $x=0$ 时：

$$(x^2{2}^x{)}^{(n)}=$$

$$C_n^2(2)(2^x{)}^{(n-2)}.$$

又：

$$(2^x{)}^{(1)}=2^x\ln 2;$$

$$(2^x{)}^{(2)}=2^x(\ln 2{)}^2;$$

$$(2^x{)}^{(3)}=2^x(\ln 2{)}^{(3)}.$$

于是：

$$(2^x{)}^{(n-2)}=2^x(\ln 2{)}^{(n-2)}.$$

于是：

$$C_n^2(2)(2^x{)}^{(n-2)}=$$

$$\frac{n!}{(n-2)!\cdot 2!}\cdot 2\cdot 2^x(\ln 2{)}^{(n-2)}\Rightarrow$$

$$x=0\Rightarrow$$

$$n(n-1)(\ln 2{)}^{(n-2)}.$$

综上可知，正确答案为 $n(n-1)(\ln 2{)}^{(n-2)}$.

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