2015年考研数二第05题解析

题目

设函数 $f(u,v)$ 满足 $f(x+y,\frac{y}{x})=x^2–y^2$, 则 $\frac{\partial f}{\partial u}{|}_{u=1,v=1}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial v}{|}_{u=1,v=1}$ 依次是 $?$

$$A.\frac{1}{2},0$$

$$B.0,\frac{1}{2}$$

$$C.–\frac{1}{2},0$$

$$D.0,–\frac{1}{2}$$

解析

方法一：

本题考察的是复合函数求偏导，因此，可以直接使用复合函数求偏导的公式计算。

已知：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x};$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.$$

又（把 $f$ 直接看成 $x$ 和 $y$ 的函数而不是复合函数）：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=(x^2–y^2{)}_x^{‘}=2x;$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}=(x^2–y^2{)}_y^{‘}=-2y.$$

令：

$$u=x+y;$$

$$v=\frac{y}{x}.$$

则：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=1；$$

$$\frac{\partial u}{\partial y}=1;$$

$$\frac{\partial v}{\partial x}=–y{x}^{-2};$$

$$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{1}{x}.$$

于是有：

$$2x=\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}(-y{x}^{-2});$$

$$-2y=\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}(\frac{1}{x}).$$

又，当 $u=1$, $v=1$ 时，有：

$$x+y=1;$$

$$\frac{y}{x}=1.$$

即：

$$x=\frac{1}{2};$$

$$y=\frac{1}{2}.$$

于是有：

$$1=\frac{\partial f}{\partial u}–2\frac{\partial f}{\partial v};\mathrm{①}$$

$$-1=\frac{\partial f}{\partial u}+2\frac{\partial f}{\partial v}.\mathrm{②}$$

$\mathrm{①}+\mathrm{②}$ 得：

$$0=2\frac{\partial f}{\partial u}\Rightarrow$$

$$\frac{\partial f}{\partial u}=0.$$

$\mathrm{①}–\mathrm{②}$ 得：

$$2=-4\frac{\partial f}{\partial v}\Rightarrow$$

$$\frac{\partial f}{\partial v}=–\frac{1}{2}.$$

方法二：

从题目中给出的函数 $f$ 的形式可以看出，$f$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的复合函数。如果，我们能用 $u$ 和 $v$ 表示 $x$ 和 $y$, 那么，就可以把 $f$ 变成关于 $u$ 和 $v$ 的非复合函数，从而 $\frac{\partial f}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial v}$ 就是对非复合函数求偏导。

已知：

$$x+y=u;$$

$$\frac{y}{x}=v.$$

于是：

$$y=u-x;$$

$$y=xv.$$

于是：

$$u-x=xv\Rightarrow$$

$$x=\frac{u}{1+v}.$$

进而：

$$y=u-\frac{u}{1+v}.$$

于是：

$$f=x^2–y^2=$$

$$(\frac{u}{1+v}{)}^2–(u-\frac{u}{1+v}{)}^2\Rightarrow$$

$$f=\frac{2u^2}{1+v}–u^2.$$

于是，当 $u=1$, $v=1$ 时：

$$\frac{\partial f}{\partial u}=$$

$$\frac{2}{1+v}\cdot 2u–2u=$$

$$2-2=0.$$

$$\frac{\partial f}{\partial v}=$$

$$2u^2\times (\frac{1}{1+v}{)}^{‘}=$$

$$2u^2\times (-1)\frac{1}{(1+v{)}^2}=$$

$$2\times (-\frac{1}{4})=–\frac{1}{2}.$$

综上可知，正确选项为 $D$.

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