2017年考研数二第08题解析

题目

已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$, $B=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$, $C=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$, 则 $?$

$$A.A\mathrm{与}C\mathrm{相}\mathrm{似}，B\mathrm{与}C\mathrm{相}\mathrm{似}$$

$$B.A\mathrm{与}C\mathrm{相}\mathrm{似}，B\mathrm{与}C\mathrm{不}\mathrm{相}\mathrm{似}$$

$$C.A\mathrm{与}C\mathrm{不}\mathrm{相}\mathrm{似}，B\mathrm{与}C\mathrm{相}\mathrm{似}$$

$$D.A\mathrm{与}C\mathrm{不}\mathrm{相}\mathrm{似}，B\mathrm{与}C\mathrm{不}\mathrm{相}\mathrm{似}$$

解析

本题中的四个选项是对所有可能结果的“全排列”，因此，不能通过“若有两个选项十分相似，而另外的选项都不相似则正确答案可能就在那两个相似的选项中产生”这样的办法减少候选选项的个数。也就是说，这类选项“全排列”的题目不能从选项中获取有价值的辅助解题的信息，只能直接推理计算。

下面是解题过程。

通过简单的化简可知，$A$, $B$. $C$ 三个矩阵的特征值都是 $2,2,1$. 而且，矩阵 $C$ 是一个对角矩阵，因此，本题极可能是一个考察相似对角化的题目。

如果 $A$ 可以相似对角化于 ${\mathrm{\Lambda }}_a$, 即 $A\sim {\mathrm{\Lambda }}_a$, 则又由于 ${\mathrm{\Lambda }}_a$ 与 $C$ 有相同的特征值且都为对角矩阵，于是 ${\mathrm{\Lambda }}_a\sim C$. 根据相似的传递性，可知：

$$A\sim C.$$

如果 $B$ 也可以相似对角化，同理可得：

$$B\sim C.$$

于是，判断 $A$ 与 $B$ 是否相似于 $C$ 就变成了 $A$ 与 $B$ 各自是否可以相似对角化。

$A$ 与 $B$ 都存在二重特征值 $2$, 在一个矩阵存在重特征值的情况下要想能够相似对角化必须满足如下充分必要条件：

该矩阵的 $k$ 重特征值有 $k$ 个线性无关的特征向量。

关于这部分知识可以参考下面这篇文章

《[线代]如何判断i重特征值对应的线性无关的特征向量的个数》

又：

$$2E-A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$r(2E-A)=3-2=1.$$

即 $A$ 可以相似对角化。

$$2E-B=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$r(2E-B)=3-1=2.$$

即 $B$ 不可以相似对角化。

因此，$A$ 与 $C$ 相似，$B$ 与 $C$ 不相似。

综上可知，正确选项为 $B$.

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