题目
设 $A=(a_{ij})$ 是三阶非零矩阵，$|A|$ 为 $A$ 的行列式，$A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，若 $a_{ij} + A_{ij} = 0(i,j = 1,2,3)$, 则 $|A| = ?$
解析
本题要我们计算 $|A|$ 的具体值，在这种要求计算数值的情况下，一般都需要找到一个关于 $|A|$ 的等式才可以解出来。
另外一方面，做线性代数的题目和做一些高数题目的不同点就是，在做线性代数的题目时，一定要注意挖掘题目【隐含】的条件。而要挖掘出【隐含条件】就要从题目给出的条件出发联系出来相关的条件。例如，在本题中提到了代数余子式，课本中用到了代数余子式的地方就是伴随矩阵 $A^{}$, 因此，伴随矩阵 $A^{}$ 就成为了一个我们可能会用到的【隐含条件】。
由题知：
$$
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
$$
$$
A^{*}=
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{21} & A_{31}\\
A_{12} & A_{22} & A_{32}\\
A_{13} & A_{23} & A_{33}
\end{bmatrix}
$$
但是 $A+A^{*}$ 无法利用 $a_{ij} + A_{ij} = 0$ 这个条件，于是考虑使用 $A^{\top}$:
$$
A^{\top} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} & a_{31}\\
a_{12} & a_{22} & a_{32}\\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{bmatrix}
$$
由于 $a_{ij} + A_{ij} = 0$, 于是：
$$
A^{\top} + A^{*} = 0.
$$
接下来有两个思路，一个是：
$$
|A^{\top} + A^{*}| = 0
$$
但是通过上式，无法得出关于 $|A|$ 的等式，因此，上面这个思路无法走通。但是，由于得出 $A^{\top} + A^{} = |0|$ 这个结果的过程中，我们已经成功利用了题目中给出的条件，因此，$A^{\top} + A^{} = |0|$ 这个等式应该是解题过程中必须的，于是，我们从另一个角度出发利用这个等式，即：
$$
A^{\top} = – A^{*} \Rightarrow
$$
$$
|A^{\top}| = |- A^{*}|.
$$
又：
$$
|a^{\top}| = |A|;
$$
$$
A^{*} = |A|A^{-1}.
$$
注意：计算过程中不要漏掉 【$-1$】，考研填空题中很多题目都喜欢在计算过程中加入 【$-1$】，漏掉了就会算错，要特别注意。
于是：
$$
|A^{\top}| = |- A^{*}| \Rightarrow
$$
$$
|A| = |(-1) |A|A^{-1}| \Rightarrow
$$
$$
|A| = [(-1)|A|]^{3} \frac{1}{|A|} \Rightarrow
$$
$$
|A| = (-1)^{3} |A|^{2} \Rightarrow
$$
$$
|A| = (-1)|A|^{2}.
$$
于是：
$$
|A| = 0;
$$
或者：
$$
|A| = -1
$$
又由题知，$|A| \neq 0$, 于是：
$$
|A| = -1.
$$
综上可知，正确答案为 $-1$.
EOF