[线代]如何判断i重特征值对应的线性无关的特征向量的个数

判断 $i$ 重特征值对应的线性无关的特征向量的个数有具体的公式。例如,当 $\lambda_{a}$ 为 $i$ 重特征值时,则 $\lambda_{a} E – A$ 的秩,即 $r(\lambda_{a} E – A)$ 就是 $\lambda_{a}$ 对应的线性无关的特征向量的个数。

下面是我对 $r(\lambda_{a} E – A)$ 之所以能够表示 $\lambda_{a}$ 对应的线性无关的向量的个数的原理的理解。

下面的理解可能不够严谨,做出这样的理解只是为了方便记忆公式,仅供参考。

不同的特征值一定对应不同的线性无关的特征向量,相同的特征值可能对应不同的线性无关的特征向量,也可能对应线性相关的特征向量。

我们首先来考虑简单一些的情况,就是一个 $n$ 阶矩阵 $A$ 的重特征值的个数为 $0$, 也就是说,$A$ 有 $n$ 个互不相等的特征值。由计算特征值的公式 $|\lambda_{i}E-A|=0$可知,$A$ 的任意一个特征值 $\lambda_{i}$ 都可以使行列式 $|\lambda_{i}E – A|$ 中的某行或者某列变为零,从而使 $|\lambda_{i}E – A|=0$。而这全为零的某行或者某列又可以使计算行列式的公式 $(\lambda_{i}E-A)x=0$ 中的向量 $x$ 得以自由取值。正是由于 $x$ 能够自由取值,因此,不同的特征值 $\lambda_{i}$ 作用下的 $(\lambda_{i}E-A)x=0$ 公式中所对应的不同的特征向量 $x$ 之间就可以保证线性无关。

下面我们来讨论存在重特征值的情况。

如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 有两个特征值是相等的,其余特征值都是和这两个特征值不相等且其余特征值之间也互不相等的,那么,这两个相等的特征值其实只能算是一个特征值,因为把他俩带入到 $(\lambda_{i}E-A)x=0$ 这个公式中起到的效果是一样的。这个时候,如果这个 $2$ 重特征值还是只能使矩阵 $\lambda_{i} E – A$ 中的某一行或者某一列变为全零,那么这个 $2$ 重特征值只能对应一个特征向量,或者说这个 $2$ 重特征值对应了两个线性相关的特征向量($2$ 个线性相关的向量就相当于 $1$ 个)。因为,不管是几重特征值都只相当于一个特征值,一个特征值只能带入求特征向量的公式 $(\lambda_{i}E-A)x=0$ 中计算一次,而在一次计算中向量 $x$ 只能被赋值一次,从而只会产生一个特征向量。

综上可知,如果 $2$ 重特征值 $\lambda_{a}$ 要产生 $2$ 个线性无关的特征向量,那么这个 $2$ 重特征值 $\lambda_{a}$ 必须要能使 $\lambda_{a}E-A$ 中产生两个全为零的行或列,即必须有 $r(\lambda_{a} E – A) = n – 2$ 才可以。而且,由于 $2$ 重特征值最多可以对应 $2$ 个线性无关的特征向量,因此,根据前面对于矩阵 $A$ 的假设,此时的 $n$ 阶矩阵 $A$ 是有 $n$ 个线性无关的特征向量的,即 $A$ 一定可以相似对角化。同样的,如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 有且只有一个 $3$ 重特征值 $\lambda_{b}$,那么,必须有 $r(\lambda_{b}E-A)=n-3$ 才可以保证 $A$ 能够相似对角化。

如上所述,在判断矩阵是否可以相似对角化的题目中常常会用到该知识,在考研数学中,该知识十分重要。

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作者: zhaokaifeng.com

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