2015年考研数二第07题解析

题目

设矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1& 1& 1\\  1& 2& a\\  1& 4& a^{2}\end{bmatrix}$, $b=\begin{bmatrix}1\\ d\\ d^{2}\end{bmatrix}$, 若集合 $\Omega = \{1,2\}$, 则线性方程组 $AX=b$ 有无穷多解的充分必要条件为 $?$

$$A. a \notin \Omega , d \notin \Omega$$

$$B. a \notin \Omega , d \in \Omega$$

$$C. a \in \Omega , d \notin \Omega$$

$$D. a \in \Omega , d \in \Omega$$

解析

本题考察非齐次线性方程组有无穷多解时的性质。

若要一个非齐次线性方程组有无穷多解,必须满足如下性质:

$$AX=b (b \neq 0) 有无穷多解 \Leftrightarrow r(A) = r(A,b) < n.$$

当 $a=1$, $b=1$ 时,有:

$$r \begin{bmatrix} 1& 1& 1\\  1& 2& 1\\  1& 4& 1\end{bmatrix} =$$

$$r \begin{bmatrix} 1& 1& 1& 1\\  1& 2& 1& 1 \\  1& 4& 1& 1\end{bmatrix} =$$

$$2 < 3.$$

当 $a=2$, $b=2$ 时,有:

$$r \begin{bmatrix} 1& 1& 1\\  1& 2& 2\\  1& 4& 4\end{bmatrix} =$$

$$r \begin{bmatrix} 1& 1& 1& 1\\  1& 2& 2& 2 \\  1& 4& 4& 4\end{bmatrix} =$$

$$2 < 3.$$

综上可知,正确选项为 $D$.

EOF


荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress