题目
设矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1& 1& 1\\ 1& 2& a\\ 1& 4& a^{2}\end{bmatrix}$, $b=\begin{bmatrix}1\\ d\\ d^{2}\end{bmatrix}$, 若集合 $\Omega = \{1,2\}$, 则线性方程组 $AX=b$ 有无穷多解的充分必要条件为 $?$
$$A. a \notin \Omega , d \notin \Omega$$
$$B. a \notin \Omega , d \in \Omega$$
$$C. a \in \Omega , d \notin \Omega$$
$$D. a \in \Omega , d \in \Omega$$
解析
本题考察非齐次线性方程组有无穷多解时的性质。
若要一个非齐次线性方程组有无穷多解，必须满足如下性质：
$$AX=b (b \neq 0) 有无穷多解 \Leftrightarrow r(A) = r(A,b) < n.$$
当 $a=1$, $b=1$ 时，有：
$$r \begin{bmatrix} 1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 4& 1\end{bmatrix} =$$
$$r \begin{bmatrix} 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 1& 1 \\ 1& 4& 1& 1\end{bmatrix} =$$
$$2 < 3.$$
当 $a=2$, $b=2$ 时，有：
$$r \begin{bmatrix} 1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 1& 4& 4\end{bmatrix} =$$
$$r \begin{bmatrix} 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 2& 2 \\ 1& 4& 4& 4\end{bmatrix} =$$
$$2 < 3.$$
综上可知，正确选项为 $D$.
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