2020 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

一、题目

设 $A$, $B$, $C$ 为三个随机事件，且 $P(A)$ $=$ $P(B)$ $=$ $P(C)$ $=$ $\frac{1}{4}$, $P(AB)$ $=$ $0$, $P(AC)$ $=$ $P(BC)$ $=$ $\frac{1}{12}$, 则 $A$, $B$, $C$ 中恰有一个发生的概率为 （ ）

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{5}{12}$

二、方法一

概率论中的有些题目是可以通过画图解决的，这道题就可以，先看下面这张图：

我们把图 1 中图形的面积当成各自的概率，其中，整个黑框围城的面积为 $1$, $A$, $B$, $C$ 所在的三个黑框围成的面积各自为 $\frac{1}{4}$, $C$ 与 $A$ 的重叠区域以及 $C$ 与 $B$ 的重叠区域围成的面积各自为 $\frac{1}{12}$.

这样一来，题目中所问的“$A$, $B$, $C$ 中恰有一个发生的概率”，其实就是 $A$ 发生时 $B$, $C$ 不发生、$B$ 发生时 $A$, $C$ 不发生和 $C$ 发生时 $A$, $B$ 不发生的概率之和，也就是图 1 中绿色小点所覆盖的区域，因为，假如我们向这些绿色小点所覆盖的区域随机扔一颗可以忽略大小的米粒，则它只能落在 $A$, $B$, $C$ 三者所包含的绿色小点区域的一处，即“发生且仅在其中一处发生”。

经过这样的设计，图 1 完全满足题设。于是，绿色区域的面积就是答案：

$[\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{1}{4}$ $-$ $(\frac{1}{12}$ $+$ $\frac{1}{12})]$ $+$ $[\frac{1}{4}$ $-$ $(\frac{1}{12}$ $+$ $\frac{1}{12})]$ $=$ $\frac{5}{12}$.

因此，选 $D$.

三、方法二

方法二就是常规方法，按照性质和公式一步步计算。

根据题意，符合条件的情况一共有以下三种：

$A\overline{B}$ $\overline{C}$, $B$ $\overline{A}$ $\overline{C}$, $C$ $\overline{B}$ $\overline{A}$.

而且这三种情况之间两两独立。

于是：

$P(A\overline{B}$ $\overline{C})$ $=$ $P(A$ $\overline{B\cup C})$ $=$ $P(A)$ $-$ $P[A$ $(B\cup C)]$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB+AC)$ $=$ $P(A)$ $-$ $[P(AB)+P(AC)$ $-$ $P(ABC)]$ $=$ $P(A)$ $-$ $P(AB)$ $-$ $P(AC)$ $+$ $P(ABC)$ $=$ $\frac{1}{4}$ $-$ $0$ $-$ $\frac{1}{12}$ $+$ $0$ $=$ $\frac{1}{4}$ $-$ $\frac{1}{12}$ $=$ $\frac{1}{6}$.

$P(B\overline{A}\overline{C})$ $=$ $P[B(\overline{A\cup C})]$ $=$ $P(B)$ $-$ $P[B(A\cup C)]$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB+BC)$ $=$ $P(B)$ $-$ $[P(AB)$ $+$ $P(BC)$ $-$ $P(ABC)]$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(AB)$ $-$ $P(BC)$ $+$ $P(ABC)$ $=$ $\frac{1}{4}$ $-$ $0$ $-$ $\frac{1}{12}$ $+$ $0$ $=$ $\frac{1}{6}$.

$P(C\overline{B}\overline{A})$ $=$ $P[C(\overline{B\cup A})]$ $=$ $P(C)$ $-$ $P[C(B\cup A)]$ $=$ $P(C)$ $-$ $P(BC+AC)$ $=$ $P(C)$ $-$ $[P(BC)$ $+$ $P(AC)$ $-$ $P(ABC)]$ $=$ $P(C)$ $-$ $P(BC)$ $-$ $P(AC)$ $+$ $P(ABC)$ $=$ $\frac{1}{4}$ $-$ $\frac{1}{12}$ $-$ $\frac{1}{12}$ $+$ $0$ $=$ $\frac{1}{12}$.

又：

$P(A\overline{B}\overline{C}$ $+$ $B\overline{A}$ $\overline{C}$ $+$ $C\overline{B}$ $\overline{A})$ $=$ $P(A\overline{B}$ $\overline{C})$ $+$ $P(B$ $\overline{A}$ $\overline{C})$ $+$ $P(C$ $\overline{B}$ $\overline{A})$ $=$ $\frac{1}{6}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $+$ $\frac{1}{12}$ $=$ $\frac{5}{12}$.

因此，选 $D$.

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