峰式思维：等于零和趋于零在计算的时候到底有啥区别？

一、前言

在进行极限计算的时候，我们常常会遇到 $x=0$ 或者 $x\to 0$ 的情况。那么，在具体计算的时候，我们该如何区分等于零和趋于零在计算过程中的不同性质和作用呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于“峰式思维”为同学们介绍一种解决该问题的“不严谨”但很实用的方法。

二、正文

对于趋于零的变量，如果我们直接将其看作 $0$ 不易找出计算思路的话，就可以用一个非常小的数字（例如 $0.1$）对趋于零的变量做“等效”代替，例如，当 $x\to 0$ 的时候，我们在某些运算场景下，就可以认为：

$$x=0.1$$

Tip

当然，如果我们认为 $x=0.00000000000001$, 则 $x$ 的值更加接近无穷小，但这样会导致计算变得繁杂，而取值为 $0.1$ 则兼顾了“小”和“实用”两种特性。

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下面，我们通过一道题目来感受一下这个方法的实用之处：

题目

难度评级：

解析

对于第 (1) 问：

首先，由一点处导数的定义可知：

$$f^{\prime }(0)=\underset{k\to 0}{lim}\frac{f(k)–f(0)}{k}$$

若我们令 $k\to 0$ 时的 $k$ 为：

$$k=0.1$$

则：

$$f^{\prime }(0)=\underset{k=0.1}{lim}\frac{f(0.1)–f(0)}{0.1}$$

由于 $0.1\ne 0$, 所以：

$$f(0.1)=1$$

于是：

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(0)=& \underset{k=0.1}{lim}\frac{f(0.1)–f(0)}{0.1}\\ \\ =& \underset{k=0.1}{lim}\frac{1–0}{0.1}\\ \\ =& \underset{k=0.1}{lim}\frac{1}{0.1}\\ \\ =& 10\end{array}$$

接着：

若令 $k\to 0$ 时的 $k=0.01$, 则 $f^{\prime }(0)=100$;

若令 $k\to 0$ 时的 $k=0.001$, 则 $f^{\prime }(0)=1000$;

··· ···

推广可知，当 $k\to 0$ 的时候，有：

$${\mathit{f}}^{\mathit{\prime }}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{\infty }$$

对于第 (2) 问：

若我们令 $k\to 0$ 时的 $k$ 为：

$$k=0.1$$

则：

$$\begin{array}{rl}& \underset{k\to 0}{lim}\frac{f(16k)–f(k)}{k}\\ \\ =& \underset{k=0.1}{lim}\frac{f(16\times 0.1)–f(0.1)}{0.1}\\ \\ =& \underset{k=0.1}{lim}\frac{f(1.6)–f(0.1)}{0.1}\\ \\ \Rightarrow & 1.6\ne 0,0.1\ne 0\\ \\ =& \underset{k=0.1}{lim}\frac{1–1}{0.1}\\ \\ =& \underset{k=0.1}{lim}\frac{0}{0.1}\\ \\ =& \mathbf{0}\end{array}$$

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