这个极限非常具有“迷惑力”！

一、题目

»A« $\underset{x\to 0}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x$ $=$ $\mathrm{e}$

»B« $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x$ $=$ $1$

»C« $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^{-x}$ $=$ $\mathrm{e}$

»D« $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(1–\frac{1}{x}\right)}^x$ $=$ $-\mathrm{e}$

难度评级：

二、解析

注意避坑

我们知道，下面这个长得和题目中所给式子很像的式子等于 $\mathrm{e}$:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{x\to 0}{lim}{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=\mathrm{e}\end{array}$$

如果不注意区分题目中所给式子与上面的 $(1)$ 式之间的区别，就很容易错选 »A« 选项或者 »C« 选项——

$(1)$ 式是 “${(1+0)}^{\mathrm{\infty }}$” 形式的式子，而题目中四个选项对应的式子都不符合这一形式。

»A«、»B« 选项

Note

下面的计算过程中使用了符号 “$\exp$”, 有关此符号的含义，可以参考「荒原之梦考研数学」的《考研数学中的 $\exp$ 是什么意思？》这篇文章。

zhaokaifeng.com

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0^{+}}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x\\ \\ =& \underset{x\to 0^{+}}{lim}{\mathrm{e}}^{\ln {(1+\frac{1}{x})}^x}\\ \\ =& \underset{x\to 0^{+}}{lim}\exp [\ln {(1+\frac{1}{x})}^x]\\ \\ =& \exp \underset{x\to 0^{+}}{lim}[\ln {(1+\frac{1}{x})}^x]\\ \\ =& \underset{x\to 0^{+}}{lim}\exp [\ln {(1+\frac{1}{x})}^x]\\ \\ =& \exp \underset{x\to 0^{+}}{lim}[x\ln (1+\frac{1}{x})]\\ \\ =& \exp \underset{x\to 0^{+}}{lim}\left[\frac{\ln (1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}\right]\\ \\ \Rightarrow & t=\frac{1}{x}\\ \\ =& \exp \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[\frac{\ln (1+t)}{t}\right]\\ \\ \Rightarrow & \text{洛必达运算 }\\ \\ =& \exp \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[\frac{\frac{1}{1+t}}{1}\right]\\ \\ =& \exp \left[0\right]\\ \\ =& {\mathrm{e}}^0\\ \\ =& \mathbf{1}\end{array}$$

综上可知，»B« 选 项 正 确，»A« 选项错误。

»C« 选项

由于 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x$ $=$ $\mathrm{e}$, 所以：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^{-x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^{x\cdot (-1)}={\mathrm{e}}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{e}}$$

»D« 选项

由于 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x$ $=$ $\mathrm{e}$, 所以：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(1–\frac{1}{x}\right)}^x=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{[1+\left(–\frac{1}{x}\right)]}^{-x\cdot (-1)}={\mathrm{e}}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{e}}$$

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