这个极限非常具有“迷惑力”！

一、题目

下面的极限中，结论正确的是哪个？

»A« $\lim_{ x \rightarrow 0 } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x}$ $=$ $\mathrm{e}$

»B« $\lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x}$ $=$ $1$

»C« $\lim_{ x \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{-x}$ $=$ $\mathrm{e}$

»D« $\lim_{ x \rightarrow \infty } \left( 1 – \frac{1}{x} \right)^{x}$ $=$ $-\mathrm{e}$

难度评级：

二、解析

注意避坑

我们知道，下面这个长得和题目中所给式子很像的式子等于 $\mathrm{e}$:

$$
\lim_{x \to 0} \left( \textcolor{orange}{1} + \textcolor{springgreen}{x} \right)^{ \textcolor{orangered}{\frac{1}{x}} } = \lim_{x \to \infty} \left( \textcolor{orange}{1} + \textcolor{springgreen}{ \frac{1}{x} } \right)^{\textcolor{orangered}{x} } = \mathrm{e} \tag{1}
$$

如果不注意区分题目中所给式子与上面的 $(1)$ 式之间的区别，就很容易错选 »A« 选项或者 »C« 选项——

$(1)$ 式是 “$\left( \textcolor{orange}{1} + \textcolor{springgreen}{0} \right)^{\textcolor{orangered}{ \infty }}$” 形式的式子，而题目中四个选项对应的式子都不符合这一形式。

»A«、»B« 选项

Note

下面的计算过程中使用了符号 “$\exp$”, 有关此符号的含义，可以参考「荒原之梦考研数学」的《考研数学中的 $\exp$ 是什么意思？》这篇文章。
zhaokaifeng.com

$$
\begin{aligned}
& \lim \limits_{x\rightarrow 0^{+}}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \\ \\
= \ & \lim \limits_{x\rightarrow 0^{+}} \mathrm{e}^{\ln \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}} \\ \\
= \ & \lim_{x \to 0^{+}} \exp \left[ \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} \right] \\ \\
= \ & \exp \lim_{x \to 0^{+}} \left[ \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} \right] \\ \\
= \ & \lim_{x \to 0^{+}} \exp \left[ \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{\textcolor{magenta}{x}} \right] \\ \\
= \ & \exp \lim_{x \to 0^{+}} \left[ \textcolor{magenta}{x} \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \right] \\ \\
= \ & \exp \lim_{x \to 0^{+}} \left[ \frac{\ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right)}{\textcolor{magenta}{ \frac{1}{x} } } \right] \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{gray}{ t = \frac{1}{x} } \\ \\
= \ & \exp \lim_{t \to \infty} \left[ \frac{\ln \left( 1 + t \right)}{t} \right] \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{gray}{\text{洛必达运算 }} \\ \\
= \ & \exp \lim_{t \to \infty} \left[ \frac{\frac{1}{1 + t}}{1} \right] \\ \\
= \ & \exp \left[ 0 \right] \\ \\
= \ & \mathrm{e}^{0} \\ \\
= \ & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}
\end{aligned}
$$

综上可知，»B« 选项正确，»A« 选项错误。

由于 »A« 选项中的式子 “$\lim_{ x \rightarrow 0 } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x}$ $=$ $\mathrm{e}$” 只说了 $x \to 0$, 所以，我们要同时考虑 $x \to 0^{+}$ 和 $x \to 0^{-}$ 两种情况。

接着，在上面的运算过程中，我们已经证明了当 $x \to 0^{+}$ 的时候，式子 “$\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x}$” 等于 $1$ 而不等于 $\mathrm{e}$, 因此就足以说明 »A« 选项错误。

此外，如果要计算式子 “$\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x}$” 在 $x \to 0^{-}$ 时候的值，不能使用“$\mathrm{e}$ 抬起算法”，因为转换得到的式子 “$\ln \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}$” 中的对数函数 $\ln$ 的定义域不能为 $(- \infty, 0)$.

»C« 选项

由于 $\lim_{x \to \infty} \left( \textcolor{orange}{1} + \textcolor{springgreen}{ \frac{1}{x} } \right)^{\textcolor{orangered}{x} }$ $=$ $\mathrm{e}$, 所以：

$$
\lim_{ x \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{-x} = \lim_{ x \rightarrow \infty } \left( \textcolor{orange}{1} + \textcolor{springgreen}{ \frac{1}{x} } \right)^{ \textcolor{orangered}{x} \cdot (\textcolor{tan}{-1} ) } = \mathrm{e}^{\textcolor{tan}{-1}} = \frac{1}{\mathrm{e}}
$$

»D« 选项

由于 $\lim_{x \to \infty} \left( \textcolor{orange}{1} + \textcolor{springgreen}{ \frac{1}{x} } \right)^{\textcolor{orangered}{x} }$ $=$ $\mathrm{e}$, 所以：

$$
\lim _{ x \rightarrow \infty } \left( 1 – \frac{1}{x} \right)^{x} = \lim_{ x \rightarrow \infty } \left[ \textcolor{orange}{1} + \left( \textcolor{springgreen}{ – \frac{1}{x} } \right) \right]^{\textcolor{orangered}{-x} \cdot (\textcolor{tan}{-1}) } = \mathrm{e}^{\textcolor{tan}{-1}} = \frac{1}{\mathrm{e} }
$$

这个极限非常具有“迷惑力”！

一、题目

二、解析