平方运算不会改变大于或等于 0 的数字间的大小关系

一、题目题目 - 荒原之梦

请证明下面这个数列 {xn} 的极限存在,并求解其极限:

2,2+2,2+2+2,

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

§2.1 证明极限的存在性

如果一个数列是单调有界数列,则该数列的极限一定存在。

我们首先来证明题目所给数列的单调性。

由于:

x1=2>0

所以:

x2=2+x12+x1>2x2>x1

进而可知:

x3=2+x22+x2>2x3>x2

于是,由数学归纳法可知,若 k = 2, 3, , 则:

xk>xk1

于是可知,数列 {xn} 是一个单调递增的数列。

接着,我们来判断数列 {xn} 是否是一个有界数列。

首先,我们知道:

x1=2+0<2+2x2=2+2<2+2x3=2+2+2<2+2

于是,我们可以合理猜测下面的式子是否成立:

limnxn=2+2+2+2+2+2

由于 x1 > 0, 且数列 {xn} 是一个单调递增的数列,所以,数列 {xn} 中的所有项都是大于 0 的。

又根据“ 0 ”这一定理,所以:

(2+2+2+2+)2(2+2)22+2+2+2+42+2+2+2(2+2+2+)2222+2+2+42+22(2+2)2222+2422

由于 2 2 显然成立,所以,下面的不等式一定成立:

limnxn=2+2+2+2+2+2

即:

limnxn2

所以,数列 {xn} 是一个单调递增且有界的数列,因此,数列 {xn} 的极限一定存在。

§2.2 求解极限值

设:

limnxn=limnxn1=A

又因为:

xn=2+xn1

所以:

A=2+AA2=2+A{A=2A=1舍去

综上可知,数列 {xn} 的极限为 2 荒原之梦考研数学 | 本文结束


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