平方运算不会改变大于或等于 $0$ 的数字间的大小关系

一、题目

请证明下面这个数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限存在，并求解其极限：

$$\sqrt{2},\sqrt{2+\sqrt{2}},\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}},\cdots$$

难度评级：

二、解析

§2.1 证明极限的存在性

如果一个数列是单调有界数列，则该数列的极限一定存在。

我们首先来证明题目所给数列的单调性。

由于：

$$x_1=\sqrt{2}>0$$

所以：

$$\begin{array}{rl}{x}_2& =\sqrt{2+x_1}\\ \\ & \Rightarrow \sqrt{2+x_1}>\sqrt{2}\\ \\ & \Rightarrow x_2>x_1\end{array}$$

进而可知：

$$\begin{array}{rl}{x}_3& =\sqrt{2+x_2}\\ \\ & \Rightarrow \sqrt{2+x_2}>\sqrt{2}\\ \\ & \Rightarrow x_3>x_2\end{array}$$

于是，由数学归纳法可知，若 $k$ $=$ $2$, $3$, $\cdots$, 则：

$$x_k>x_{k-1}$$

于是可知，数列 $\left\{x_n\right\}$ 是一个单调递增的数列。

接着，我们来判断数列 $\left\{x_n\right\}$ 是否是一个有界数列。

首先，我们知道：

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =\sqrt{2+0}<\sqrt{2+2}\\ \\ x_2& =\sqrt{2+\sqrt{2}}<\sqrt{2+2}\\ \\ x_3& =\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}<\sqrt{2+2}\end{array}$$

于是，我们可以合理猜测下面的式子是否成立：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots }}}}}⩽\sqrt{2+2}$$

由于 $x_1$ $>$ $0$, 且数列 $\{x_n\}$ 是一个单调递增的数列，所以，数列 $\{x_n\}$ 中的所有项都是大于 $0$ 的。

又根据“ 平 方 运 算 不 会 改 变 大 于 或 等 于 $0$ 的 数 字 间 的 大 小 关 系 ”这一定理，所以：

$$\begin{array}{rl}& {\left(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots }}}}}\right)}^2⩽{\left(\sqrt{2+2}\right)}^2\\ \\ & \iff 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots }}}}⩽4\\ \\ & \iff \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots }}}}⩽2\\ \\ & \iff {\left(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots }}}}\right)}^2⩽2^2\\ \\ & \iff 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots }}}⩽4\\ \\ & ⋮\\ \\ & \iff \sqrt{2+\sqrt{2}}⩽2\\ \\ & \iff {\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)}^2⩽2^2\\ \\ & \iff 2+\sqrt{2}⩽4\\ \\ & \iff \sqrt{2}⩽2\end{array}$$

由于 $\sqrt{2}$ $⩽$ $2$ 显然成立，所以，下面的不等式一定成立：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots }}}}}⩽\sqrt{2+2}$$

即：

$$\underset{\mathit{n}\mathbf{\to }\mathbf{\infty }}{\mathbf{lim}}{\mathit{x}}_{\mathit{n}}\mathbf{⩽}\mathbf{2}$$

所以，数列 $\left\{x_n\right\}$ 是一个单调递增且有界的数列，因此，数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限一定存在。

§2.2 求解极限值

设：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n-1}=A$$

又因为：

$$x_n=\sqrt{2+x_{n-1}}$$

所以：

$$\begin{array}{r}A=\sqrt{2+A}\\ \\ & \iff A^2=2+A\\ \\ & \iff \{\begin{array}{l}A=2\\ A=-1\to \text{舍去}\end{array}\end{array}$$

综上可知，数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限为 $2$

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