这道题目看似很简单，但全身都是“坑”

一、题目

已知，函数 $f (x)$ 连续，且：

$$
\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \ln( 1+2x ) + x f(x)} {x^{2}} = 3
$$

则：

$$
\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ 2+f(x) }{x} = ?
$$

难度评级：

二、解析

错误的解法

$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \ln( 1+2x ) + x f(x)} {x^{2}} \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{\textcolor{orange}{ \ln (1 + 2x) }}{x ^{2}} + \lim_{ x \rightarrow 0 } \textcolor{magenta}{ \frac{f(x)}{x} } \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{\textcolor{orange}{2x}}{x ^{2}} + \lim_{ x \rightarrow 0 } \textcolor{magenta}{\frac{f(x)}{x}} \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{2}{x} + \lim_{ x \rightarrow 0 } \textcolor{magenta}{\frac{f(x)}{x}} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{2 + f(x)}{x} = 3 }}
\end{aligned}
$$

正确的三种解法见下文。

正确的解法 01：泰勒公式

对于极限式子的计算，如果没有思路，就可以尝试用泰勒公式，于是，由泰勒公式可知，当 $x \rightarrow 0$ 时，有：

$$
\ln (1 + x) = x – \frac{1}{2} x ^{2} + o(x ^{2})
$$

当 $x \rightarrow 0$ 时，有：

$$
\textcolor{orange}{ \ln(1 + 2x) = 2x – 2x ^{2} + o(x ^{2}) }
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \ln( 1+2x ) + x f(x)} {x^{2}} = 3 \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{2x – 2 x ^{2} + o(x ^{2}) + x f(x)}{x ^{2}} = 3 \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{2x + x f(x) – 2 x ^{2}}{x ^{2}} = 3 \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{2 + f(x)}{x} – 2 = 3 \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{ \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{2 + f(x)}{x} = 5 }}
\end{aligned}
$$

正确的解法 02：“凑”

首先，设：

$$
\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ 2+f(x) }{x} = A
$$

又：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \ln( 1+2x ) + x f(x)} {x^{2}} = 3 \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \ln( 1+2x ) \textcolor{orangered}{-2x + 2x} + x f(x)} {x^{2}} = 3 \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{\ln (1+2x) \textcolor{orangered}{-2x}}{x ^{2}} + \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{\textcolor{orangered}{2x} + x f(x)}{x ^{2}} = 3 \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{pink}{ \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{- \frac{1}{2} (2x)^{2}}{x ^{2}} } + \textcolor{yellow}{ \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{2 + f(x)}{x} } = 3 \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{pink}{-2} + \textcolor{yellow}{
A} = 3 \\ \\
\Rightarrow & A = 5 \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{2 + f(x)}{x} = 5 }}
\end{aligned}
$$

正确的解法 03：“猜”

题目让我们求解 $\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ 2+f(x) }{x}$ 等于多少，那么很显然，这个式子的极限应该是存在的。

由于当 $x \rightarrow 0$ 的时候，式子 $\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ 2+f(x) }{x}$ 的分母是等于 $0$ 的，为了使整个式子的极限存在，则必须形成 “$\frac{0}{0}$” 的形式，所以：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0} \left[ 2 + f(x) \right] \rightarrow 0 \\ \\
\Rightarrow & \lim_{x \rightarrow 0} \left[ 2 + f(x) \right] = \lim_{x \rightarrow 0} kx \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{orange}{ \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} kx – 2 }
\end{aligned}
$$

或者：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0} \left[ 2 + f(x) \right] = 0 \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{orange}{ \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = -2 }
\end{aligned}
$$

如果 $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ $=$ $-2$，则根据「荒原之梦考研数学」的《数字零和极限零有什么区别？》这篇文章可知：

$$
\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ 2+f(x) }{x} = \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{0}{x} = 0
$$

但是，这种情况下，有：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \ln( 1+2x ) + x f(x)} {x^{2}} \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \ln( 1+2x ) – 2x} {x^{2}} \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \frac{2}{1+2x} – 2 }{2x} \\ \\
\Rightarrow & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-4x}{2x (1+2x)} \\ \\
\Rightarrow & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2}{1+2x} \\ \\
\Rightarrow & -2 \textcolor{orangered}{ \neq 3 }
\end{aligned}
$$

所以，不能有 $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ $=$ $-2$, 只能有：

$$
\textcolor{springgreen}{
\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} kx – 2
}
$$

将上式代入到 $\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \ln( 1+2x ) + x f(x)} {x^{2}}$, 得：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \ln( 1+2x ) + \textcolor{magenta}{ x f(x) }} {x^{2}} \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \ln( 1+ \textcolor{orange}{2x} ) + \textcolor{magenta}{k x ^{2} – 2x}} {x^{2}} \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{\frac{2}{1+2x} + 2kx – 2}{2x} \\ \\
\Rightarrow & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{-4}{(1 + 2x) ^{2}} + 2k}{2} \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ -4 + 2k } {2} = 3 \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ k = 5 }
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ 2+f(x) }{x} \\ \\
\Rightarrow & \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ 2 + \textcolor{springgreen}{5} x-2 }{x} = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{5}}
\end{aligned}
$$

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