一重积分的问题用二重积分求解

一、题目

难度评级：

二、解析

由于 $y(x)$ 是 $y^{\prime }(x)$ 的原函数，所以：

$$\begin{array}{r}y(x)=\int y^{\prime }(x)\mathrm{d}x+C\end{array}$$

但由于题目已经告诉我们 $y(0)$ $=$ $1$, 所以，根据「荒原之梦考研数学」的《不定积分和变上限积分的联系与区别》这篇文章可知，用 $0$ 到 $x$ 的变上限积分即可求出满足 $y(0)$ $=$ $1$ 这一条件的唯一的原函数，即：

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^x{y}^{\prime }(t)\mathrm{d}t\\ \\ =& {y(x)|}_0^x\\ \\ =& y(x)–y(0)\\ \\ =& y(x)–1\\ \\ \Rightarrow & y(x)={\int }_0^x{y}^{\prime }(t)\mathrm{d}t+1\end{array}$$

Note

为了区分积分变量和函数变量，在上面的 $(1)$ 式中，我们使用 $t$ 表示积分变量，使用 $x$ 表示函数变量。

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于是：

$$\begin{array}{rl}& I\\ \\ & ={\int }_0^{1}y(x)\mathrm{d}x\\ \\ & ={\int }_0^1[{\int }_0^x{y}^{\prime }(t)\mathrm{d}t+1]\mathrm{d}x\\ \\ & ={\int }_0^1{\int }_0^x{y}^{\prime }(x)\mathrm{d}t\mathrm{d}x+{\int }_0^{1}1\mathrm{d}x\\ \\ & ={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^x{y}^{\prime }(t)\mathrm{d}t+x{|}_0^1\\ \\ & ={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^x{y}^{\prime }(t)\mathrm{d}t+1\\ \\ & ={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^x\arctan (1-t{)}^2\mathrm{d}t+1\end{array}$$

在上面的式子 ${\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^x\arctan (1-t{)}^2\mathrm{d}t$ $+$ $1$ 中，我们需要先对 $t$ 进行积分，再对 $x$ 进行积分，但很显然，这个积分运算很复杂。

所以，我们首先考虑交换机分次序。

要交换积分次序，我们首先需要画出来积分区域的示意图，如图 01 所示：

于是，交换积分次序，得：

$$\begin{array}{rl}& I=\\ \\ & {\int }_0^1\mathrm{d}t{\int }_t^1\arctan (1-t{)}^2\mathrm{d}x+1=\\ \\ & {\int }_0^1\arctan (1-t{)}^2\mathrm{d}t{\int }_t^1\mathrm{d}x+1=\\ \\ & {\int }_0^1(1–t)\arctan (1–t{)}^2\mathrm{d}t+1\underset{x\in (1,0)}{\overset{x=1-t}{=}}\\ \\ & {\int }_1^{0}x\arctan x^2\mathrm{d}(1-x)+1=\\ \\ & {\int }_0^{1}x\arctan x^2\mathrm{d}x+1=\\ \\ & \frac{1}{2}{\int }_0^1\arctan x^2\mathrm{d}(x^2)+1\stackrel{t=x^2}{=}\\ \\ & \frac{1}{2}{\int }_0^1\arctan t\mathrm{d}t+1\stackrel{\text{ 分部积分 }}{=}\\ \\ & {\frac{1}{2}t\arctan t|}_0^1–\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{t}{1+t^2}\mathrm{d}t+1=\\ \\ & \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}–\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{t}{1+t^2}\mathrm{d}t+1=\\ \\ & \frac{\pi }{8}–{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \ln (1+t^2)|}_0^1+1=\\ \\ & \frac{\mathit{\pi }}{\mathbf{8}}–\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{ln}\mathbf{}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{1}\end{array}$$

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