不定积分和变上限积分的联系与区别

一、前言

变上限积分是定积分的一种，但又不是一般的定积分，我们有些时候甚至会用变上限积分直接替代不定积分使用——那么，变上限积分和不定积分到底有什么关系呢？

二、正文

首先，设函数 $f(x)$ 连续且 $[F(x)+C]^{\prime} = f(x)$, $C$ 为任意常数。

则不定积分 $\int f(x) \mathrm{~ d} x$ 就相当于所有原函数的集合：

$$
\int f(x) \mathrm{~ d} x = F(x) + C
$$

而变上限积分 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t$ 的上限其实就是函数的变量，因而，变上限积分作为一个整体可以看作是一个变量为积分上限的函数——

由于在 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t$ 中，$x$ 可以大于 $a$, 也可以小于 $a$, 因此，$\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t$ 不光是 $f(t)$ 的一个原函数，而且是在原函数整个定义域上的原函数——我们不要认为 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t$ 就是定义在 $x > 0$ 区间上的。

当然，如果 $f(t)$ 不连续，$\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t$ 仍然表示一个函数，但这个函数并不是 $f(t)$ 的原函数，因为此时的 $f(t)$ 一般不可积。

换一种说法就是，如果 $F^{\prime}(x) = f(x)$, 则：

$$
\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t = F(x) – F(a)
$$

此时，$F(a)$ 是一个数字，因此，$F(x) – F(a)$ 就相当于 $F(x) + C_{1}$——与 $\int f(x) \mathrm{~ d} x = F(x) + C$ 中的任意常数 $C$ 不同的是，这里的 $C_{1}$ 是某个确定的数字。

总的来说：

$$
\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t = F(x) + C_{1}, \ C_{1} \ \text{为某个确定的常数}
$$

$$
\int f(t) \mathrm{~ d} t = F(x) + C, \ C \ \text{为任意常数}
$$

于是，我们可以很明显的看出来，$\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t$ 是函数 $F(x)$ 函数族的某个函数，$\int f(t) \mathrm{~ d} t$ 则表示整个 $F(x)$ 函数族。

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