空集和空集及任何集合相互独立，全集与全集及任何集合也相互独立

一、题目

[A]. 两两独立，但不一定三三独立

[B]. 全部相互独立 ^[Note-02]

[C]. 一定不两两独立

[D]. 不一定两两独立

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$\begin{array}{rl}& P(A\cup B)=0\\ \\ \Rightarrow & A\cup B=\varnothing \\ \\ \Rightarrow & \{\begin{array}{l}A=\varnothing \\ B=\varnothing \end{array}\\ \\ \Rightarrow & \{\begin{array}{l}\overline{A}=\mathrm{\Omega }\\ \overline{B}=\mathrm{\Omega }\end{array}\end{array}$$

Tip-01

如果两个集合的并集（$\cup$）等于空集，就意味着这两个集合在合并之后都没能贡献出来任何“内容”，也就是说，这两个集合一定都是空集。

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Tip-02

空集（$\varnothing$）的对立集合是全集（$\mathrm{\Omega }$）：$\overline{\varnothing }$ $=$ $\mathrm{\Omega }$；
全集（$\mathrm{\Omega }$）的对立集合是空集（$\varnothing$）：$\overline{\mathrm{\Omega }}$ $=$ $\varnothing$。

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由于：

1. 空集（$\varnothing$）和另一个空集之间是相互独立的，空集和其他集合之间也都是相互独立的。
   空集（$\varnothing$）与任何集合都相互独立，可以表述为：
   $P(\varnothing )$ $=$ $P(\varnothing A)$ $=$ $P(\varnothing )P(A)$ $=$ $P(\varnothing )$ $=$ $0$
2. 全集（$\mathrm{\Omega }$）和另一个全集之间是相互独立的，全集和其他集合之间也都是相互独立的。
   全集（$\mathrm{\Omega }$）与任何集合都相互独立，可以表述为：
   $P(A)$ $=$ $P(\mathrm{\Omega }A)$ $=$ $P(\mathrm{\Omega })P(A)$ $=$ $P(A)$

所以，以下标注对号的集合之间，都是相互独立的：

$$\begin{array}{rl}\overline{A}\iff \overline{B}& ✓\\ \overline{A}\iff \overline{C}& ✓\\ \overline{B}\iff \overline{C}& ✓\\ \overline{A}\iff \overline{B}\iff \overline{C}& ✓\end{array}$$

综上可知，本 题 应 选 B

Note-01

事件 $\overline{A}$ 是事件 $A$ 的对立事件；
事件 $\overline{B}$ 是事件 $B$ 的对立事件；
事件 $\overline{C}$ 是事件 $C$ 的对立事件。

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Note-02

如果事件 $A$ 和事件 $B$ 满足 $P(AB)$ $=$ $P(A)P(B)$, 则称事件 $A$ 与 事件 $B$ 相互独立。

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三、后记

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