有界一定不发散，但有界不一定收敛

一、题目

(A) 若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 发散，则 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 必发散

(B) 若 $\frac{1}{x _{ n }}$ 为无穷小量，则 $y _{ n }$ 必为无穷小量

(C) 若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 有界，则 $y _{ n }$ 必为无穷小量

(D) 若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 无界，则 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 必有界

难度评级：

二、解析

解法一

根据荒原之梦考研数学《数列乘积极限的相关结论》可知，当 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 和 $\left\{ \frac{1}{x _{ n }} \right\}$ 都收敛时，其乘积 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\} \cdot \left\{ \frac{1}{x _{ n }} \right\}$ 也一定收敛，且：

$$
\begin{aligned}
\lim _{ n \rightarrow \infty } \left[ \textcolor{orangered}{\left( x _{ n } y _{ n } \right)} \cdot \textcolor{springgreen}{\left( \frac{1}{x _{ n }} \right)} \right] \\ \\
& = \lim _{ n \rightarrow \infty } y _{ n } \\ \\
& = \textcolor{orangered}{0} \cdot \textcolor{springgreen}{0} \\ \\
& = 0
\end{aligned}
$$

因此，当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\left\{ y_{n} \right\}$ 也是一个无穷小量。

综上可知，本 题 应 选 B

解法二

我们也可以举反例解答本题。

对于 A 选项：

令数列 $x _{ n }$ $=$ $( – 1 ) ^ { n }$, $y _{ n }$ $=$ $0$, 于是可知 A 选项不正确。

对于 C 选项：

令数列 $x _{ n }$ $=$ $0$, $y _{ n }$ $=$ $1$, 于是可知 C 选项不正确。

对于 D 选项：

令：

$$
\begin{aligned}
x _{ n } & = \textcolor{red}{1}, 0, \textcolor{red}{3}, 0, \textcolor{red}{5}, 0, \textcolor{red}{7}, 0, \textcolor{red}{9}, \cdots \\
y _{ n } & = 0, \textcolor{pink}{2}, 0, \textcolor{pink}{4}, 0, \textcolor{pink}{6}, 0, \textcolor{pink}{8}, 0, \cdots
\end{aligned}
$$

此时，$\left\{ x_{n} y_{n} \right\}$ $=$ $0$, 但是数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 和 $\left\{ y_{n} \right\}$ 都是无界数列。

综上可知，本 题 应 选 B

拓展资料

[1]. 图示：数列的有界、发散与收敛间的区别与联系

---