一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
设数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 与 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 满足 $\lim _{ n \rightarrow \infty } \left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ $=$ $0$, 则下列说法正确的是哪个?
(A) 若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 发散,则 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 必发散
(B) 若 $\frac{1}{x _{ n }}$ 为无穷小量,则 $y _{ n }$ 必为无穷小量
(C) 若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 有界,则 $y _{ n }$ 必为无穷小量
(D) 若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 无界,则 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 必有界
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
解法一
根据荒原之梦考研数学《数列乘积极限的相关结论》可知,当 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 和 $\left\{ \frac{1}{x _{ n }} \right\}$ 都收敛时,其乘积 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\} \cdot \left\{ \frac{1}{x _{ n }} \right\}$ 也一定收敛,且:
$$
\begin{aligned}
\lim _{ n \rightarrow \infty } \left[ \textcolor{orangered}{\left( x _{ n } y _{ n } \right)} \cdot \textcolor{springgreen}{\left( \frac{1}{x _{ n }} \right)} \right] \\ \\
& = \lim _{ n \rightarrow \infty } y _{ n } \\ \\
& = \textcolor{orangered}{0} \cdot \textcolor{springgreen}{0} \\ \\
& = 0
\end{aligned}
$$
因此,当 $n \rightarrow \infty$ 时,$\left\{ y_{n} \right\}$ 也是一个无穷小量。
综上可知,本 题 应 选 B
解法二
我们也可以举反例解答本题。
对于 A 选项:
令数列 $x _{ n }$ $=$ $( – 1 ) ^ { n }$, $y _{ n }$ $=$ $0$, 于是可知 A 选项不正确。
对于 C 选项:
令数列 $x _{ n }$ $=$ $0$, $y _{ n }$ $=$ $1$, 于是可知 C 选项不正确。
对于 D 选项:
令:
$$
\begin{aligned}
x _{ n } & = \textcolor{red}{1}, 0, \textcolor{red}{3}, 0, \textcolor{red}{5}, 0, \textcolor{red}{7}, 0, \textcolor{red}{9}, \cdots \\
y _{ n } & = 0, \textcolor{pink}{2}, 0, \textcolor{pink}{4}, 0, \textcolor{pink}{6}, 0, \textcolor{pink}{8}, 0, \cdots
\end{aligned}
$$
此时,$\left\{ x_{n} y_{n} \right\}$ $=$ $0$, 但是数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 和 $\left\{ y_{n} \right\}$ 都是无界数列。
综上可知,本 题 应 选 B
拓展资料 ![拓展资料 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/205a214cf3790e56d1704c455928e7db158432ef20b0dba7dd1bf289fae75f366da5af89758abce5a2f514db26d274caef3f884f2aa7397080558e90f9131dbb.svg)
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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