若被积函数只含 e^x 还能拯救一下，但如果还有三角函数，那只能先整体代换

一、题目

难度评级：

二、解析

首先，如果被积函数只是由 $e ^{x}$ 以及一些数字、四则运算等组成，那么，我们可以根据$e ^{x}$ 相关运算技巧这篇文章中的例子和思路，通过对被积函数做一些变形等操作的方式，寻找解题方式。

但是，如果被积函数是像本题这样的，除了含有 $e ^{x}$, 还含有三角函数，那么，我们首先能想到和使用的解题思路就应当是对 $e ^{x}$ 做整体替换。

于是，令 $\mathrm { e } ^ { x } = t$, 则有：

$$
\begin{cases}
x = \ln t \\ \\
\mathrm { d } x = \frac { 1 } { t } \mathrm { ~ d } t
\end{cases}
$$

因此：

$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \frac { \arctan \textcolor{orangered}{ e ^ { x } } } { \textcolor{springgreen}{\mathrm { e } ^ { 2 x } } } \textcolor{pink}{ \mathrm { ~ d } x } \\ \\
& = \int \frac { \arctan \textcolor{orangered}{ t } } { \textcolor{springgreen}{ t ^ { 2 } } } \cdot \textcolor{pink}{ \frac{1}{t} \mathrm { ~ d } t } \\ \\
& = \int \frac { \arctan t } { t ^ { 3 } } \mathrm { ~ d } t \\ \\
& = – \frac { 1 } { 2 } \int \arctan t \mathrm { ~ d } \left( t ^ { – 2 } \right) \\ \\
& = – \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \arctan t } { t ^ { 2 } } – \int \textcolor{tan}{ \boldsymbol{ \frac { 1 } { t ^ { 2 } \left( 1 + t ^ { 2 } \right) }} } \mathrm { d } t \right] \\ \\
& = – \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \arctan t } { t ^ { 2 } } – \int \left( \textcolor{tan}{ \boldsymbol{ \frac { 1 } { t ^ { 2 } } – \frac { 1 } { 1 + t ^ { 2 } } }} \right) \mathrm { d } t \right] \\ \\
& = – \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \arctan t } { t ^ { 2 } } + \frac { 1 } { t } + \arctan t \right) + C \\ \\
& \xlongequal{t = e ^{x}} – \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \arctan \mathrm { e } ^ { x } } { \mathrm { e } ^ { 2 x } } + \mathrm { e } ^ { – x } + \arctan \mathrm { e } ^ { x } \right) + C
\end{aligned}
$$

其中，$C$ 为任意常数

Note

上面由式子 $\textcolor{tan}{ \boldsymbol{ \frac { 1 } { t ^ { 2 } \left( 1 + t ^ { 2 } \right) }}}$ 变为式子 $\textcolor{tan}{ \boldsymbol{ \frac { 1 } { t ^ { 2 } } – \frac { 1 } { 1 + t ^ { 2 } } }}$ 的过程如果做题熟练了可以直接看出来，如果看不出来，可以借助不定积分中常用的待定系数法（原理 | 例题）计算即可。

zhaokaifeng.com

---