构造函数的另一种思路：把两个未知中的其中一个看作函数自变量

一、题目

难度评级：

二、解析

证明方法一：拉格朗日中值定理

令：

$$
f ( x ) = \ln x
$$

则，由拉格朗日中值定理可知，至少存在一点 $\xi \in ( a, b )$, 可使下式成立：

$$
\frac{\ln b−\ln a}{b−a} = \left(\ln x\right)^{\prime}\left|\right._{x = \xi } = \frac{1}{\xi }
$$

Note

由于严格地说 “$\ln \xi$” 是一个数字，求导之后得零，所以才使用上面的写法。如果是在考试的时候，不需要在答题卡上反映推导过程的话，可以直接写：$\frac{\ln b−\ln a}{b−a}$ $=$ $\left(\ln \xi \right)^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{\xi }$

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又因为在 $\ln x$ 中一定有 $x > 0$, 所以：

$$
\xi > 0, \ a > 0
$$

且：

$$
a < \textcolor{orangered}{ \xi < b }
$$

对上面的不等式取倒数，得：

$$
\frac{1}{a} > \textcolor{orangered}{ \frac{1}{\xi} > \frac{1}{b} }
$$

又因为 $b$ $>$ $a$, 所以，由这篇文章中的结论可知：

$$
\frac{1}{\xi} > \frac { 1 } { b } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
$$

进而可得：

$$
\textcolor{green}{
\boldsymbol{
\frac { \ln b – \ln a } { b – a } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
}
}
$$

综上可知，题目得证

证明方法二：构造函数

Tip

在这里构造函数的时候，需要将原式中的 $a$ 或者 $b$ 其中之一看作自变量，另一个看作常数处理。

在下面的解法中，我们是将 “$b$” 看作了自变量，”$a$” 看作了常数。当然，如果反过来，将 “$a$” 看作自变量，”$b$” 看作常数也是可以的，对应的解法与下面类似。

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由 $\frac { \ln b – \ln a } { b – a }$ $>$ $\frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }$, 把其中的 “$b$” 替换成 “$x$”, 得（其中，$x$ $>$ $a$ $>$ $0$）：

$$
\frac { \textcolor{springgreen}{\ln x} – \ln a } { \textcolor{springgreen}{x} – a } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + \textcolor{springgreen}{x ^ { 2 } } } \tag{1}
$$

于是，若令函数：

$$
f ( x ) = \left( \textcolor{springgreen}{x ^ { 2 } } + a ^ { 2 } \right) ( \textcolor{springgreen}{ \ln x } – \ln a ) – 2 a ( \textcolor{springgreen}{x} – a ) \tag{2}
$$

于是，要使 $(1)$ 式成立，就是要使 $(2)$ 式满足：

$$
f(x) > 0
$$

因此，我们接下来要做的就是判断函数 $f(x)$ 的极值点和单调性，看一看是否满足 $f(x)$ $>$ $0$.

首先，对函数 $f(x)$ 求一阶导：

$$
\begin{aligned}
f ^ { \prime } ( x ) \\ \\
& = 2 x ( \ln x – \ln a ) + \left( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } \right) \frac { 1 } { x } – 2 a \\ \\
& = 2 x ( \ln x – \ln a ) + \frac { ( x – a ) ^ { 2 } } { x }
\end{aligned}
$$

因此，当 $x$ $\in$ $(a, + \infty)$ 时，一定有：

$$
f^{\prime} (x) > 0
$$

所以，此时的 $f ( x )$ 严格单调递增。

又因为 $x$ $=$ $a$ 时：

$$
f ( a ) = 0
$$

所以当 $x$ $\in$ $(a, + \infty)$ 时， 有：

$$
f ( x ) > f ( a ) = 0
$$

即：

$$
\left( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } \right) ( \ln x – \ln a ) – 2 a ( x – a ) > 0
$$

之后，令 $x = b$, 则：

$$
\left( b ^ { 2 } + a ^ { 2 } \right) ( \ln b – \ln a ) – 2 a ( b – a ) > 0 \Rightarrow
$$

$$
\left( b ^ { 2 } + a ^ { 2 } \right) ( \ln b – \ln a ) > 2 a ( b – a ) \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{green}{
\boldsymbol{
\frac { \ln b – \ln a } { b – a } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
}
}
$$

综上可知，题目得证

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