2018 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析

一、题目

设 $M$ $=$ ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $\frac{(1+x{)}^2}{1+x^2}$ $dx$, $N$ $=$ ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $\frac{1+x}{e^x}$ $dx$, $K$ $=$ ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $(1+\sqrt{\cos x})$ $dx$, 则 ( )

( A ) $M$ $>$ $N$ $>$ $K$

( B ) $M$ $>$ $K$ $>$ $N$

( C ) $K$ $>$ $M$ $>$ $N$

( D ) $K$ $>$ $N$ $>$ $M$

二、解析

在解答题目时，能化简的要先化简，能计算出具体数值的要先计算出具体数值。
首先观察本题，发现 $M$ 对应的式子应该是可以化简或者通过积分计算出具体的数值。于是：

$M$ $=$ ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $\frac{(1+x{)}^2}{1+x^2}$ $dx$ $=$ ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $\frac{1+x^2+2x}{1+x^2}$ $dx$ $=$ ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $[\frac{1+x^2}{1+x^2}$ $+$ $\frac{2x}{1+x^2}]$ $dx$ $=$ ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $[$ $1$ $+$ $\frac{2x}{1+x^2}]$ $dx$

计算到上面这一步之后，我们有两种方法可以继续上面的计算，一种方法是利用积分函数在对称区间上的性质，另一种是利用基本积分公式直接计算。

下面分别使用上述提到的两种方法展开计算。

方法一：利用积分函数在对称区间上的性质

这里说的“对称区间”指的是关于原点对称的区间，观察题目可知，题目中的积分函数的上限和下限组成的区间 $[-\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}]$ 正好是关于原点对称的。

根据积分的几何意义，我们知道，奇函数在关于原点对称的对称区间上的积分是等于 $0$ 的。

$y$ $=$ $x$, $x$ $\in$ $(-\mathrm{\infty },$ $+\mathrm{\infty })$ 就是一个典型的奇函数，如图 1：

因此，接下来，我们如果能证明一个函数是奇函数，就可以证明这个函数在关于原点对称的区间上的积分是 $0$.

于是，令：

$f(x)$ $=$ $\frac{2x}{1+x^2}$

则：

$\frac{2(-x)}{1+(-x{)}^2}$ $=$ $-\frac{2x}{1+x^2}$ $\Rightarrow$ $f(-x)$ $=$ $-f(x)$.

因此 $f(x)$ $=$ $\frac{2x}{1+x^2}$ 是一个奇函数，于是：

${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $\frac{2x}{1+x^2}$ $dx$ $=$ $0$.

即：

$M$ $=$ ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $1$ $dx$.

方法二：利用基本积分公式直接计算

由前面的计算，我们已知，$M$ $=$ ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $\frac{2x}{1+x^2}$ $dx$, 于是，根据积分公式：

$d(x^{\mu })$ $=$ $\mu$ $x^{\mu -1}$ $dx$

我们可以令 $2x$ $dx$ $=$ $d(1+x^2)$.

于是：

$M$ $=$ ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $1$ $dx$ $+$ $\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}$ $=$ ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $1$ $dx$ $+$ $\frac{1}{1+x^2}$ $d(1+x^2)$.

接下来，根据基本积分公式：

$\int$ $\frac{1}{x}$ $dx$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $c$.

我们有：

$M$ $=$ ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $1$ $+$ $\frac{1}{1+x^2}d(1+x^2)$ $=$ $x$ $+$ $\ln |1+x^2|$ $+$ $c$ ${|}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $=$ $\frac{\pi }{2}$ $+$ $|\ln [1+(\frac{\pi }{2}{)}^2]|$ $+$ $c$ $-$ $(-\frac{\pi }{2})$ $-$ $|\ln [1+(-\frac{\pi }{2}{)}^2]|$ $-$ $c$ $=$ $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}$ $=$ $\pi$.

又因为，$M$ 的积分上限 $\frac{\pi }{2}$ 减去 $M$ 的积分下限 $-\frac{\pi }{2}$ 也等于 $\pi$.

根据定积分的基本性质：

${\int }_a^b$ $1$ $dx$ $=$ $b$ $-$ $a$.

我们知道：

$M$ $=$ ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $1$ $dx$.

补充：

如果是计算 $\int$ $\frac{2x}{1-x^2}$ $dx$, 则我们至少有以下两种计算方法：

$\int$ $\frac{2x}{1-x^2}$ $dx$ $=$ $-\int$ $\frac{1}{1-x^2}$ $=$ $-\ln |1-x^2|$ $+$ $c$;

或者：

$\int$ $\frac{2x}{1-x^2}$ $dx$ $=$ $\int$ $(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x})$ $dx$ $=$ $-\ln |x-1|$ $-$ $\ln |x+1|$ $+$ $c$ $=$ $-\ln |x^2-1|$ $+$ $c$.

至此，我们分别使用两种方法完成了对 $M$ 的化简计算。

根据定积分的比较定理：

设 $f(x)$ $⩽$ $g(x)$, $x$ $\in$ $[a,b]$, 则 ${\int }_a^b$ $f(x)$ $dx$ $⩽$ ${\int }_a^b$ $g(x)$ $dx$.

观察题目可知，题目中给出的三个定积分 $M$, $N$, $K$ 的上限和下限都是一样的，因此，我们可以使用上述比较定理比较他们的大小。

由于在 $M$, $N$, $K$ 中，我们目前已知的只有 $M$ 的数值，因此接下来我们先比较 $N$ 和 $K$ 中的积分函数与 $1$ 的大小关系。

首先来判断 $N$ 的积分函数和 $1$ 的大小关系。

当 $x$ $=$ $0$ 时，$1$ $+$ $x$ $=$ $e^x$ $=1$;

当 $x$ $<$ $0$ 时，$e^x$ 的减小速度小于 $1$ $+$ $x$ 的减小速度；

当 $x$ $>$ $0$ 时，$e^x$ 的增长速度大于 $1$ $+$ $x$ 的增长速度。

也就是说，在整个定义域内，$y$ $=$ $e^x$ 的函数图像始终在 $y$ $=$ $1$ $+$ $x$ 的上方或者和 $y$ $=$ $1$ $+$ $x$ 重合，他们二者的图像如图 2:

所以 $\frac{1+x}{e^x}$ $⩽$ $1$, $x$ $\in$ $[-\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}]$. 再来判断 $K$ 的积分函数和 $1$ 的大小关系。

我们知道，当 $x$ $\in$ $[$ $-\frac{\pi }{2},$ $\frac{\pi }{2}$ $]$ 上时，$y$ $=$ $\cos x$ $⩾$ $0$ 的，如图 3:

于是 $1$ $+$ $\sqrt{\cos x}$ $⩾$ $1$.

综上可知：

$K$ $⩾$ $M$ $⩾$ $N$, 正确选项是：C

EOF