有些表述看上去像是定义的一个特例，其实确实定义的等价表述

一、题目

“对任意的 $ε \in (0, 2)$ , 总存在正整数 $N$ , 当 $n ⩾ N$ 时，恒有 $| x_{n} - a |$ $⩽ 3$ $ε$ ” 是数列 ${x_{n}}$ 收敛于 $a$ 的什么条件？

(A)充分非必要条件

(B)必要非充分条件

(C)充分必要条件

(D)非充分非必要条件

难度评级：

二、解析

要解答这个问题，我们首先要知道数列极限的定义：

对任意的 $ε > 0$ , 若存在数列序号 $N$ , 使得当 $n > N$ 时，恒有 $| x_{n} - a |$ $<$ $ε$ 成立，则称常数 $a$ 为数列 ${x_{n}}$ 在 $n \to \infty$ 时的极限，记作 $lim_{n \to \infty}$ $x_{n}$ $=$ $a$

由于上面是数列极限的定义，所以很显然，上面“ 记作 ”一词前面的内容与“ 记作 ”一词后面的内容互为充分必要条件。

但是，对比上述数列极限的定义和题目中双引号部分所给的内容，我们可能会觉得，题目中给出的这部分内容只能算作数列 ${x_{n}}$ 的极限为 $a$ 的其中一种可能条件，也就是数列 ${x_{n}}$ 的极限为 $a$ 的一个“充分非必要条件”。

但是，经过我们接下来的分析就可以知道，这两种定义方式其实是等价的：

首先，任意的 $ε \in (0, 2)$ 与任意的 $ε > 0$ 在数列极限定义中的作用其实是等效的。

虽然 $ε > 0$ 是包含 $ε \in (0, 2)$ 的，但由于 $ε$ 是在 $ε > 0$ 这个条件下“任意”给出都可以的，而不是在 $ε > 0$ 这个条件下某些特殊位置才可以，所以，只说 $ε \in (0, 2)$ 并没有破坏定义本身。

此外，虽然题目中给出的 $n ⩾ N$ 比定义中给出的 $n > N$ 多了一个等号，也没有对定义造成破坏。

因为定义中的 $N$ 也是任意的。例如，若取 $N_{0}$ $=$ $N - 1$ , 则 $n$ $>$ $N_{0}$ $\Rightarrow$ $n$ $>$ $N - 1$ $\Rightarrow$ $n + 1$ $>$ $N$ $\Rightarrow$ $n$ $⩾$ $N$ .

类似的，虽然题目中给出的 $| x_{n} - a | ⩽ 3 ε$ 比数列极限的定义多了一个等号，还对乘以 $ε$ 乘以了 $3$ , 但由于 $ε > 0$ 是任意的，因此，也没有破坏定义本身。

例如，若令 $ε = \frac{ε_{0}}{5}$ , 由于 $ε_{0} > 0$ 是任意的，此时就有 $| x_{n} - a |$ $⩽$ $3 ε$ $=$ $3 \cdot \frac{ε_{0}}{5}$ $<$ $ε_{0}$ .

当然，如果我们令 $ε = \frac{ε_{0}}{6}$ 或者令 $ε = \frac{ε_{0}}{18}$ , 都可以由 $| x_{n} - a |$ $⩽$ $3 ε$ 得到 $| x_{n} - a |$ $⩽$ $ε_{0}$ 的结论，这与数列极限定义中要求的 $| x_{n} - a |$ $<$ $ε$ 的差别只不过是一个用 $ε$ 这个符号，一个用 $ε_{0}$ 这个符号，所以这部分与数列极限的定义仍然是等效的。

因此，题目所给条件其实就是数列极限定义的另一种等价或者说等效表述。所以，题目所给条件是数列 ${x_{n}}$ 收敛于 $a$ 的充分且必要条件。

综上可知，本题应选 C 荒原之梦考研数学 | 本文结束

一、题目

二、解析

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