一、题目
“对任意的 $\varepsilon \in ( 0 , 2 )$, 总存在正整数 $N$, 当 $n \geqslant N$ 时，恒有 $\left| x _{ n } – a \right|$ $\leqslant 3$ $\varepsilon$” 是数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 收敛于 $a$ 的什么条件？
(A)充分非必要条件
(B)必要非充分条件
(C)充分必要条件
(D)非充分非必要条件
难度评级：
二、解析 
要解答这个问题，我们首先要知道数列极限的定义：
对任意的 $\varepsilon > 0$, 若存在数列序号 $N$, 使得当 $n > N$ 时，恒有 $\left| x _{ n } – a \right|$ $<$ $\varepsilon$ 成立，则称常数 $a$ 为数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 在 $n \rightarrow \infty$ 时的极限，记 作 $\lim _{ n \rightarrow \infty }$ $x _{ n }$ $=$ $a$
由于上面是数列极限的定义，所以很显然，上面“ 记 作 ”一词前面的内容与“ 记 作 ”一词后面的内容互为充分必要条件。
但是，对比上述数列极限的定义和题目中双引号部分所给的内容，我们可能会觉得，题目中给出的这部分内容只能算作数列 $\{ x_{n} \}$ 的极限为 $a$ 的其中一种可能条件，也就是数列 $\{ x_{n} \}$ 的极限为 $a$ 的一个“充分非必要条件”。
但是，经过我们接下来的分析就可以知道，这两种定义方式其实是等价的：
首先，任意的 $\varepsilon \in ( 0 , 2 )$ 与任意的 $\varepsilon > 0$ 在数列极限定义中的作用其实是等效的。
虽然 $\varepsilon > 0$ 是包含 $\varepsilon \in ( 0 , 2 )$ 的，但由于 $\varepsilon$ 是在 $\varepsilon > 0$ 这个条件下“任意”给出都可以的，而不是在 $\varepsilon > 0$ 这个条件下某些特殊位置才可以，所以，只说 $\varepsilon \in ( 0 , 2 )$ 并没有破坏定义本身。
此外，虽然题目中给出的 $n \geqslant N$ 比定义中给出的 $n > N$ 多了一个等号，也没有对定义造成破坏。
因为定义中的 $N$ 也是任意的。例如，若取 $N _{ 0 }$ $=$ $N – 1$, 则 $n$ $>$ $N _{ 0 }$ $\Rightarrow$ $n$ $>$ $N-1$ $\Rightarrow$ $n + 1$ $>$ $N$ $\Rightarrow$ $n$ $\geqslant$ $N$.
类似的，虽然题目中给出的 $\left| x _{ n } – a \right| \leqslant 3 \varepsilon$ 比数列极限的定义多了一个等号，还对乘以 $\varepsilon$ 乘以了 $3$, 但由于 $\varepsilon > 0$ 是任意的，因此，也没有破坏定义本身。
例如，若令 $\varepsilon = \frac{\varepsilon _{ 0 }}{5}$, 由于 $\varepsilon _{ 0 } > 0$ 是任意的，此时就有 $\left| x _{ n } – a \right|$ $\leqslant$ $3 \varepsilon$ $=$ $3 \cdot \frac{\varepsilon_{0}}{5}$ $<$ $\varepsilon _{ 0 }$.
当然，如果我们令 $\varepsilon = \frac{\varepsilon_{0}}{6}$ 或者令 $\varepsilon = \frac{\varepsilon_{0}}{18}$, 都可以由 $\left| x _{ n } – a \right|$ $\leqslant$ $3 \varepsilon$ 得到 $\left| x _{ n } – a \right|$ $\leqslant$ $\varepsilon_{0}$ 的结论，这与数列极限定义中要求的 $\left| x _{ n } – a \right|$ $<$ $\varepsilon$ 的差别只不过是一个用 $\varepsilon$ 这个符号，一个用 $\varepsilon_{0}$ 这个符号，所以这部分与数列极限的定义仍然是等效的。
因此，题目所给条件其实就是数列极限定义的另一种等价或者说等效表述。所以，题目所给条件是数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 收敛于 $a$ 的充分且必要条件。
综上可知，本 题 应 选 C 