用行列式表示的方程该怎么求根？

一、题目

记行列式 $| \begin{array}{cccc} x - 2 & x - 1 & x - 2 & x - 3 \\ 2 x - 2 & 2 x - 1 & 2 x - 2 & 2 x - 3 \\ 3 x - 3 & 3 x - 2 & 4 x - 5 & 3 x - 5 \\ 4 x & 4 x - 3 & 5 x - 7 & 4 x - 3 \end{array} |$ 为 $f (x)$ , 则方程 $f (x)$ $=$ $0$ 的实根的个数是多少？

(A) 1

(B) 2

(D) 4

难度评级：

二、解析

对于这类用行列式表示函数的题目，我们首先要做的就是先看看能否对这个行列式进行化简，花间之后再进行行列式的运算，运算的结果就是该函数的一般表达式。

$\begin{aligned} f (x) \\ = | \begin{array}{cccc} x - 2 & x - 1 & x - 2 & x - 3 \\ 2 x - 2 & 2 x - 1 & 2 x - 2 & 2 x - 3 \\ 3 x - 3 & 3 x - 2 & 4 x - 5 & 3 x - 5 \\ 4 x & 4 x - 3 & 5 x - 7 & 4 x - 3 \end{array} | \\ = | \begin{array}{cccc} x - 2 & 1 & 0 & - 1 \\ 2 x - 2 & 1 & 0 & - 1 \\ 3 x - 3 & 1 & x - 2 & - 2 \\ 4 x & - 3 & x - 7 & - 3 \end{array} | \\ = | \begin{array}{cccc} x - 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 x - 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 x - 3 & 1 & x - 2 & - 1 \\ 4 x & - 3 & x - 7 & - 6 \end{array} | \\ = | \begin{array}{ll} x - 2 & 1 \\ 2 x - 2 & 1 \end{array} | \cdot | \begin{array}{ll} x - 2 & - 1 \\ x - 7 & - 6 \end{array} | \\ = (x - 2 - 2 x + 2) (- 6 x + 12 + x - 7) \\ = - x \cdot (5 - 5 x) \end{aligned}$