低阶无穷小可以看作高阶无穷小的无穷大

一、题目

难度评级：

二、解析

首先：

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\sin x^2–2\sin x+2\sin x\cos x}{x^4}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\sin x^2–2\sin x+\sin 2x}{x^4}\end{array}$$

所以：

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\left(x^2–\frac{1}{6}{x}^6\right)–2\left(x–\frac{1}{6}{x}^3\right)+\left(2x–\frac{4}{3}{x}^3\right)}{x^4}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^3–\frac{1}{6}{x}^7–2x+\frac{1}{3}{x}^3+2x–\frac{4}{3}{x}^3}{x^4}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^3–x^3–\frac{1}{6}{x}^7}{x^4}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{–\frac{1}{6}{x}^7}{x^4}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{-1}{6}{x}^3\\ \\ & =0\end{array}$$

Tip

在上面的计算中，当我们计算到 $\frac{–\frac{1}{6}{x}^7}{x^4}$ 这一步的时候会发现，该式子的分子是分母的高阶无穷小，也就是说，当 $x\to 0$ 的时候，该式子的分母其实是比分子“大”很多的，因此，我们可以认为：$\underset{x\to 0}{lim}\frac{–\frac{1}{6}{x}^7}{x^4}$ $=$ $\underset{x\to 0}{lim}\frac{0}{\mathrm{\infty }}$ $=$ $0$.

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