求极限的式子很复杂不知道怎么下手咋办：先看其“轮廓”

一、题目

难度评级：

二、解析

本式看上去比较复杂，所以，我们先来看一看极限条件（$x \rightarrow + \infty$）下，这个式子的“轮廓”是什么：

$$
I = [(\rightarrow 0) + (\rightarrow 1)]^{0} \Rightarrow (\rightarrow 1)^{0}
$$

这里为了区分极限 $1$ 和数字 $1$, 我们给极限 $1$ 加上了一个箭头符号，写成了 “$(\rightarrow 1)$” 的形式。

由于式子 $I$ 的“轮廓”是 $(\rightarrow 1)^{0}$, 因此，我们可以凑成 $(1+0)^{\infty}$ $=$ $e$ 的形式：

$$
\begin{aligned}
I \\
& = \lim_{x \rightarrow + \infty} \left( \sin \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} \right)^{x \cos \sqrt{\frac{x+1}{x^{2}}}} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow + \infty} \textcolor{orangered}{\left( 1 + \sin \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} – 1 \right)}^{\textcolor{orangered}{\frac{1}{\sin \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} – 1}} \cdot \frac{\sin \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} – 1}{1} \cdot x \cos \sqrt{\frac{x+1}{x^{2}}}} \\ \\
& = \textcolor{orangered}{e}^{\lim_{x \rightarrow + \infty} \left( \sin \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} – 1 \right) \cdot x \cos \sqrt{\frac{x+1}{x^{2}}}} \\ \\
& = e^{\lim_{x \rightarrow + \infty} \left( \sin \frac{2}{x} + 1 – 1 \right) \cdot x \cos \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}} \\ \\
& = e^{\lim_{x \rightarrow + \infty} \left( \sin \frac{2}{x} \right) \cdot x \cos \sqrt{\frac{1}{x}}} \\ \\
& = e^{\lim_{x \rightarrow + \infty} \left( \sin \frac{2}{x} \right) \cdot x \cos 0} \\ \\
& = e^{\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{2}{x} \cdot x \cdot 1} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{e^{2}}}
\end{aligned}
$$

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