求极限的式子很复杂不知道怎么下手咋办：先看其“轮廓”

一、题目

难度评级：

二、解析

本式看上去比较复杂，所以，我们先来看一看极限条件（$x\to +\mathrm{\infty }$）下，这个式子的“轮廓”是什么：

$$I=[(\to 0)+(\to 1){]}^0\Rightarrow (\to 1{)}^0$$

这里为了区分极限 $1$ 和数字 $1$, 我们给极限 $1$ 加上了一个箭头符号，写成了 “$(\to 1)$” 的形式。

由于式子 $I$ 的“轮廓”是 $(\to 1{)}^0$, 因此，我们可以凑成 $(1+0{)}^{\mathrm{\infty }}$ $=$ $e$ 的形式：

$$\begin{array}{r}I\\ & =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x})}^{x\cos \sqrt{\frac{x+1}{x^2}}}\\ \\ & =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}–1)}^{\frac{1}{\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}–1}\cdot \frac{\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}–1}{1}\cdot x\cos \sqrt{\frac{x+1}{x^2}}}\\ \\ & =e^{\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}–1)\cdot x\cos \sqrt{\frac{x+1}{x^2}}}\\ \\ & =e^{\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sin \frac{2}{x}+1–1)\cdot x\cos \sqrt{\frac{x}{x^2}}}\\ \\ & =e^{\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sin \frac{2}{x})\cdot x\cos \sqrt{\frac{1}{x}}}\\ \\ & =e^{\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sin \frac{2}{x})\cdot x\cos 0}\\ \\ & =e^{\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{x}\cdot x\cdot 1}\\ \\ & ={\mathit{e}}^{\mathbf{2}}\end{array}$$

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