2013 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

已知极限 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x-\arctan x}{x^k}=c,$ 其中 $k,c$ 为常数，且 $c\ne 0,$ 则 ( )

$$(A)k=2,c=-\frac{1}{2}.$$

$$(B)k=2,c=\frac{1}{2}.$$

$$(C)k=3,c=-\frac{1}{3}.$$

$$(D)k=3,c=\frac{1}{3}.$$

解析

解答本题需要用到一个等价无穷小替换：

$$x–\arcsin x\sim \frac{1}{3}{x}^3.$$

于是我们有：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x-\arctan x}{x^k}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{3}{x}^3}{x^k}=c.$$

由于 $c$ 是常数，$\frac{1}{3}{x}^3$ 是 $x^k$ 的同阶无穷小。

于是，$k=3,c=\frac{1}{3}.$

综上可知，正确答案是：D

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