题目
已知极限 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{k}}=c,$ 其中 $k,c$ 为常数，且 $c \neq 0,$ 则 ( )
$$( A ) k=2,c=-\frac{1}{2}.$$
$$( B ) k=2,c=\frac{1}{2}.$$
$$( C ) k=3,c=-\frac{1}{3}.$$
$$( D ) k=3,c=\frac{1}{3}.$$
解析
解答本题需要用到一个等价无穷小替换：
$$x – \arcsin x \sim \frac{1}{3}x^{3}.$$
于是我们有：
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{k}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3}x^{3}}{x^{k}} = c.$$
由于 $c$ 是常数，$\frac{1}{3}x^{3}$ 是 $x^{k}$ 的同阶无穷小。
于是，$k=3,c=\frac{1}{3}.$
综上可知，正确答案是：D
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