2010 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析（三种方法）

题目

极限 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}{]}^x=$（）

$$(A)1.$$

$$(B)e.$$

$$(C)e^{a-b}.$$

$$(D)e^{b-a}.$$

解析

方法 一

观察可以发现，本题是 $1^{\mathrm{\infty }}$ 型不定式，处理该种类型的不定式可以尝试使用“两个重要极限”中的第二个重要极限：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n=e;$$
$$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e;$$
推广之，有：
一般地，$lim◻=0\Rightarrow lim(1+◻{)}^{\frac{1}{◻}}=e.$

于是，我们有如下计算过程：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}{]}^x=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[1+\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}-1{]}^x=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[1+\frac{x^2-(x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)}{]}^x=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[1+\frac{x^2-(x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)}{]}^{\frac{(x-a)(x+b)}{x^2-(x-a)(x+b)}\cdot x\cdot \frac{x^2-(x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)}}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{x\cdot \frac{x^2-(x^2+bx-ax-ab)}{x^2+bx-ax-ab}}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{x\cdot \frac{x^2-x^2-bx+ax+ab}{x^2+bx-ax-ab}}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{\frac{x^2\cdot (a-b)+abx}{x^2+bx-ax-ab}}=e^{a-b}.$$

方法 二

对于类似本题这样的幂指函数，我们还可以使用“e 抬起法”求解。

步骤如下：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}{]}^x=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{\ln [\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}{]}^x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{x\ln \frac{x^2}{(x-a)(x+b)}}.$$

由于在 $x\to \mathrm{\infty }$ 时，$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}=$ $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(x^2{)}^{\prime }}{[(x-a)(x+b){]}^{\prime }}=$ $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x}{2x+b-a}=$ $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(2x{)}^{\prime }}{(2x+b-a{)}^{\prime }}=$ $\frac{2}{2}=1.$

我们知道，当 $\ln$ 函数里面的变量极限为 $1$ 的时候，我们可以用 $\ln (1+x)\sim x$ 这个等价无穷小，因为把 $\ln$ 函数里面的变量减去 $1$ (为了保持不变再加上 $1$) 后就有等于 $0$ 的部分存在了，就满足了使用等价无穷小的条件。

于是：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\ln \frac{x^2}{(x-a)(x+b)}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\ln [1+\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}–1]=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\cdot [\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}–1]=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\cdot \frac{x^2–(x-a)(x+b)}{(x-a)(x+b)}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\cdot \frac{(a-b)x+ab}{(x-a)(x+b)}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(a-b)x^2}{x^2}=a-b.$$

于是：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{x\ln \frac{x^2}{(x-a)(x+b)}}=e^{a-b}.$$

方法三

除了像方法二中一样在计算的一开始就使用“e 抬起法”之外，还可以在对原式化简变形之后再使用“e 抬起法”。在本解法中，同样涉及对等价无穷小替换的使用，步骤如下：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}{]}^x=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{(x-a)(x+b)}{x^2}{]}^{-x}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[(\frac{x-a}{x})\cdot (\frac{x+b}{x}){]}^{-x}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\frac{a}{x}{)}^{-x}\cdot \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{b}{x}{)}^{-x}.$$

到这里，就出现了幂指函数，于是，接下来使用“e 抬起法”：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\frac{a}{x}{)}^{-x}\cdot \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{b}{x}{)}^{-x}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-x\cdot \ln (1-\frac{a}{x})}\cdot \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-x\ln (1+\frac{b}{x})}.$$

由于，$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0.$

而当 $\frac{1}{x}\to 0$ 时，$\frac{a}{x}$ 和 $\frac{b}{x}$ 都相当于有限个无穷小的乘积，结果仍然是无穷小，于是，我们可以使用如下等价无穷小替换：

$$◻\to 0\mathrm{时},\ln (1–◻)\sim ◻$$

于是：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-x\cdot \ln (1-\frac{a}{x})}\cdot \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-x\ln (1+\frac{b}{x})}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-x(-\frac{a}{x})}\cdot \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-x(\frac{b}{x})}=e^a\cdot e^{-b}=e^{a-b}.$$

EOF