题目
设函数 $f(x)$ 具有 $2$ 阶导数，$g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,$ 则在区间 $[0,1]$ 上 ( )
( A ) 当 $f'(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \geqslant g(x).$
( B ) 当 $f'(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \leqslant g(x)$.
( C ) 当 $f”(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \geqslant g(x)$.
( D ) 当 $f”(x) \geqslant 0$ 时，$f(x) \leqslant g(x)$.
解析
如果要使用凹凸性的知识解答本题，则首先需要用到函数凹凸性的有关知识，也就是要明确一个函数的 $1$ 阶导和 $2$ 阶导反映出来的原函数形态。
总的来说，我们可以这么认为：
$1$ 阶导反映函数的单调性。在一个区间内，若 $1$ 阶导 $f'(x)$ 大于 $0$, 则原函数 $f(x)$ 单调递增；若 1 阶导 $f'(x)$ 小于 $0$, 则原函数 $f(x)$ 单调递减。
$2$ 阶导反映函数的凹凸性。在一个区间内，若 $2$ 阶导 $f”(x)$ 大于 $0,$ 则原函数 $f(x)$ 在此区间内的图像是凹的；若 $2$ 阶导 $f”(x)$ 小于 $0,$ 则原函数 $f(x)$ 在此区间内的图像是凸的。
此外，我们还需要掌握和一次函数解析式有关的 4 个计算公式：
两点式（已知两点的坐标）
$$\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=$$
$$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}},其中 x_{1} \neq x_{2} 且 y_{1} \neq y_{2}.$$
点斜式（已知斜率和其中一点的坐标）
$$y-y_{1}=k(x-x_{1}).$$
截距式（已知函数在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距）
$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1, 其中 a \neq 0 且 b \neq 0 .$$
斜截式（已知斜率和函数在 $y$ 轴的截距）
$$y=k x + b.$$
解法一
$$g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x \Rightarrow$$
$$g(x)=f(0)-f(0)x+f(1)x \Rightarrow$$
$$g(x)-f(0)=x[f(1)-f(0)] \Rightarrow$$
$$g(x)-f(0)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0} \times (x-0).$$
上式中最后得出的结果其实是一次函数解析式中的“两点式”的一个变形：
$$\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \Rightarrow$$
$$y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1}).$$
于是，我们知道，区间 $[0,1]$ 上的函数 $g(x)$ 其实就是点 $(0,f(0))$ 和点 $(1,f(1))$ 之间的连线。
又由于在区间 $[0,1]$ 上，当 $f”(x) \geqslant 0$ 时，$f(x)$ 是一个凹函数，即 $f(x) \leqslant g(x)$.
因此，正确的选项是：D
方法二
既然题目是让比较 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的大小关系，那么我们自然能想到的就是对 $f(x)$ 和 $g(x)$ 做差，根据结果是大于 $0$ 还是小于 $0$ 来判断他们的大小关系，于是有：
$$F(x)=f(x)-g(x)=$$
$$f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x=$$
$$f(x)-f(0)+f(0)x-f(1)x.$$
于是有：
$$F(0)=f(0)-f(0) \times 1 – 0 = 0;$$
$$F(1) = f(1) – f(0) \times 0 -f(1) = 0.$$
即：
$$F(0)=F(1)=0.$$
又由于题目中提到了 $f(x)$ 存在 $2$ 阶导函数，因此，我们需要把这个条件用上：
$$F'(x)=f'(x)+f(0)-f(1);$$
$$F”(x)=f”(x).$$
因此，若 $f”(x) \geqslant 0,$ 则 $F”(x) \geqslant 0,$ 即 $F(x)$ 为凹函数，因此有：
$$F(x) \leqslant F(0)=F(1)=0 \Rightarrow$$
$$F(x) \leqslant 0 \Rightarrow$$
$$f(x)-g(x) \leqslant 0 \Rightarrow$$
$$f(x) \leqslant g(x).$$
因此，正确的选项是：D
EOF