2014 年研究生入学考试数学一选择题第 2 题解析

题目

设函数 f(x) 具有 2 阶导数,g(x)=f(0)(1x)+f(1)x, 则在区间 [0,1] 上 ( )

( A ) 当 f(x)0 时,f(x)g(x).

( B ) 当 f(x)0 时,f(x)g(x).

( C ) 当 f(x)0 时,f(x)g(x).

( D ) 当 f(x)0 时,f(x)g(x).

解析

如果要使用凹凸性的知识解答本题,则首先需要用到函数凹凸性的有关知识,也就是要明确一个函数的 1 阶导和 2 阶导反映出来的原函数形态。

总的来说,我们可以这么认为:

1 阶导反映函数的单调性。在一个区间内,若 1 阶导 f(x) 大于 0, 则原函数 f(x) 单调递增;若 1 阶导 f(x) 小于 0, 则原函数 f(x) 单调递减。

2 阶导反映函数的凹凸性。在一个区间内,若 2 阶导 f(x) 大于 0, 则原函数 f(x) 在此区间内的图像是凹的;若 2 阶导 f(x) 小于 0, 则原函数 f(x) 在此区间内的图像是凸的。

此外,我们还需要掌握和一次函数解析式有关的 4 个计算公式:

两点式(已知两点的坐标)

yy1y2y1=

xx1x2x1,x1x2y1y2.

点斜式(已知斜率和其中一点的坐标)

yy1=k(xx1).

截距式(已知函数在 x 轴和 y 轴上的截距)

xa+yb=1,a0b0.

斜截式(已知斜率和函数在 y 轴的截距)

y=kx+b.

解法一

g(x)=f(0)(1x)+f(1)x

g(x)=f(0)f(0)x+f(1)x

g(x)f(0)=x[f(1)f(0)]

g(x)f(0)=f(1)f(0)10×(x0).

上式中最后得出的结果其实是一次函数解析式中的“两点式”的一个变形:

yy1y2y1=xx1x2x1

yy1=y2y1x2x1(xx1).

于是,我们知道,区间 [0,1] 上的函数 g(x) 其实就是点 (0,f(0)) 和点 (1,f(1)) 之间的连线。

又由于在区间 [0,1] 上,当 f(x)0 时,f(x) 是一个凹函数,即 f(x)g(x).

因此,正确的选项是:D

方法二

既然题目是让比较 f(x)g(x) 的大小关系,那么我们自然能想到的就是对 f(x)g(x) 做差,根据结果是大于 0 还是小于 0 来判断他们的大小关系,于是有:

F(x)=f(x)g(x)=

f(x)f(0)(1x)f(1)x=

f(x)f(0)+f(0)xf(1)x.

于是有:

F(0)=f(0)f(0)×10=0;

F(1)=f(1)f(0)×0f(1)=0.

即:

F(0)=F(1)=0.

又由于题目中提到了 f(x) 存在 2 阶导函数,因此,我们需要把这个条件用上:

F(x)=f(x)+f(0)f(1);

F(x)=f(x).

因此,若 f(x)0,F(x)0,F(x) 为凹函数,因此有:

F(x)F(0)=F(1)=0

F(x)0

f(x)g(x)0

f(x)g(x).

因此,正确的选项是:D

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