一、题目
已知数列 $\left\{a_n\right\}\left(a_n \neq 0\right)$, 若 $\left\{a_n\right\}$ 发散, 则 ( )
(A) $\left\{a_n+\frac{1}{a_n}\right\}$ 发散
(B) $\left\{a_n-\frac{1}{a_n}\right\}$ 发散
(C) $\left\{e^{a_n}+\frac{1}{e^{a_n}}\right\}$ 发散
(D) $\left\{e^{a_n}-\frac{1}{e^{a_n}}\right\}$ 发散
难度评级：
二、解析 
注意：
* 没加花括号的 “$\textcolor{orangered}{a_{n}}$” 表示数列元素，加了花括号的 “$\textcolor{springgreen}{\{ a_{n} \}}$” 表示整个数列；
** 数列元素为常数的数列一定是收敛的，例如数列 “$\textcolor{blue}{\{ 100 \}}$” 就是说明整个数列为 “$100$, $100$, $\cdots$, $100$”, 这样的数列一定收敛。
A 选项
特例 01
令：
$$
a_n = 2, \frac{1}{2}, 2 \cdots
$$
则：
$$
a_n+\frac{1}{a_n} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}
$$
所以，数列 $\left\{a_n+\frac{1}{a_n}\right\}$ 收敛，A 选项错误 。
特例 02
令：
$$
a_n=\left\{\begin{array}{ll}a, & n \text { 为奇数, } \\ \frac{1}{a}, & n \text { 为偶数 }\end{array}(a \neq 0)\right.
$$
则数列 $\left\{a_n+\frac{1}{a_n}\right\}$ $=$ $\left\{a+\frac{1}{a}\right\}$ 收敛, A 选项错误 。
B 选项
特例 01
令：
$$
a_n = 1 – 1 + 1 – 1 + \cdots = (-1)^{n-1}
$$
于是：
$$
a_n \ – \ \frac{1}{a_n}=0
$$
所以数列 $\left\{a_n-\frac{1}{a_n}\right\}$ $=$ $\{0\}$ 收敛，B 选项错误 。
特例 02
令：
$$
a_n = -1 + 1 – 1 + 1 – \cdots = (-1)^n
$$
所以数列 $\left\{a_n-\frac{1}{a_n}\right\}$ $=$ $\left\{(-1)^n+(-1)^{n+1}\right\}$ $=$ $\{0\}$ 收敛，B 选项错误 。
C 选项
令：
$$
a_n = -1 + 1 – 1 + 1 – \cdots = (-1)^n
$$
所以：
$$
– a_n = 1 – 1 + 1 – 1 + \cdots = -(-1)^n
$$
因此 $e^{a_n}+e^{-a_n}$ $=$ $e^{-1} + e$.
由于此时数列 $\left\{\mathrm{e}+\frac{1}{\mathrm{e}}\right\}$ $=$ $\{e^{-1} + e\}$ 是一个常数数列，常数数列一定是收敛的，因此 C 选项错误 。
或者，若 $a_{n}$ $=$ $(-1)^n$, 则数列：
$\left\{\mathrm{e}^{a_n}+\frac{1}{\mathrm{e}^{a_n}}\right\}$ $=$ $\left\{\mathrm{e}^{(-1)^n}+\mathrm{e}^{(-1)^{n+1}}\right\}$ $=$ $\left\{\mathrm{e}+\frac{1}{\mathrm{e}}\right\}$ 也收敛, C 选项错误 。
综上可知，本题应选 D.