2024年考研数二第04题解析：用特例法求解判断数列的敛散性

一、题目

已知数列 $\left\{a_n\right\}(a_n\ne 0)$, 若 $\left\{a_n\right\}$ 发散, 则 ( )

难度评级：

二、解析

注意：
* 没加花括号的 “$a_n$” 表示数列元素，加了花括号的 “$\{a_n\}$” 表示整个数列；
** 数列元素为常数的数列一定是收敛的，例如数列 “$\{100\}$” 就是说明整个数列为 “$100$, $100$, $\cdots$, $100$”, 这样的数列一定收敛。

A 选项

特例 01

令：

$$a_n=2,\frac{1}{2},2\cdots$$

则：

$$a_n+\frac{1}{a_n}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$$

所以，数列 $\{a_n+\frac{1}{a_n}\}$ 收敛，A 选项错误 。

特例 02

令：

$$a_n=\{\begin{array}{ll}a,& n\text{ 为奇数, }\\ \frac{1}{a},& n\text{ 为偶数 }\end{array}(a\ne 0)$$

则数列 $\{a_n+\frac{1}{a_n}\}$ $=$ $\{a+\frac{1}{a}\}$ 收敛, A 选项错误 。

B 选项

特例 01

令：

$$a_n=1–1+1–1+\cdots =(-1{)}^{n-1}$$

于是：

$$a_n–\frac{1}{a_n}=0$$

所以数列 $\{a_n-\frac{1}{a_n}\}$ $=$ $\{0\}$ 收敛，B 选项错误 。

特例 02

令：

$$a_n=-1+1–1+1–\cdots =(-1{)}^n$$

所以数列 $\{a_n-\frac{1}{a_n}\}$ $=$ $\{(-1{)}^n+(-1{)}^{n+1}\}$ $=$ $\{0\}$ 收敛，B 选项错误 。

C 选项

令：

$$a_n=-1+1–1+1–\cdots =(-1{)}^n$$

所以：

$$–a_n=1–1+1–1+\cdots =-(-1{)}^n$$

因此 $e^{a_n}+e^{-a_n}$ $=$ $e^{-1}+e$.

由于此时数列 $\{\mathrm{e}+\frac{1}{\mathrm{e}}\}$ $=$ $\{e^{-1}+e\}$ 是一个常数数列，常数数列一定是收敛的，因此 C 选项错误 。

或者，若 $a_n$ $=$ $(-1{)}^n$, 则数列：

$\{{\mathrm{e}}^{a_n}+\frac{1}{{\mathrm{e}}^{a_n}}\}$ $=$ $\{{\mathrm{e}}^{(-1{)}^n}+{\mathrm{e}}^{(-1{)}^{n+1}}\}$ $=$ $\{\mathrm{e}+\frac{1}{\mathrm{e}}\}$ 也收敛, C 选项错误 。

综上可知，本题应选 D.