计算复杂但有规律的式子，要学会化繁为简，使计算过程充分清晰

一、题目

计算下面这个式子的值：

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\left(\frac{1}{3}{x}^3–\frac{1}{2}{x}^2\right){|}_{-4}^0–\left(\frac{1}{3}{x}^3–\frac{1}{2}{x}^2\right){|}_0^1+\left(\frac{1}{3}{x}^3–\frac{1}{2}{x}^2\right){|}_1^4\end{array}$$

难度评级：

二、解析

本题就是一个计算题，但是，由于直接计算涉及的运算量较大，很容易产生计算错误。因此，在处理此类式子的计算问题时，我们要注意找到式子中有规律的部分，然后用整体替换的方式化繁为简，增加计算的清晰度和准确性。

首先，我们可以令：

$$A(x)=\frac{1}{3}{x}^3–\frac{1}{2}{x}^2$$

且易知：

$$A(0)=0$$

于是：

$$\begin{array}{r}I\\ & =A(0)–A(-4)–A(1)+A(0)+A(4)–A(1)\\ & =-2A(1)–A(-4)+A(4)\\ & =\frac{1}{3}–A(-4)+A(4)\end{array}$$

又由于 $\frac{1}{3}{x}^3$ 可以构造出奇函数，$\frac{1}{2}{x}^2$ 可以构造出偶函数，因此，可以令：

$$B(x)=\frac{1}{3}{x}^3$$

$$C(x)=\frac{1}{2}{x}^2$$

于是：

$$\begin{array}{r}I\\ & =\frac{1}{3}–A(-4)+A(4)\\ & =\frac{1}{3}–[B(-4)–C(-4)]+[B(4)–C(4)]\\ & =\frac{1}{3}+[B(4)–B(-4)]–[C(-4)–C(4)]\end{array}$$

对于奇函数 $B(x)$ 而言，$B(4)$ $=$ $-B(-4)$, 对于偶函数 $C(x)$ 而言，$C(4)=C(-4)$, 于是：

$$\begin{array}{r}I\\ & =\frac{1}{3}+[B(4)–B(-4)]–[C(-4)–C(4)]\\ & =\frac{1}{3}+2B(4)–0\\ & =\frac{1}{3}+\frac{128}{3}\\ & =\frac{129}{3}\end{array}$$

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