题目中没有给出的等式可以通过“嵌套”的方式构造出来

一、题目题目 - 荒原之梦

f(x) = x2arcsinx0πf(sinx) dx, 则 0πf(sinx) dx=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

若令:

0πf(sinx) dx=A

则由 f(x) = x2arcsinx0πf(sinx) dx 可得:

f(sinx)=sin2xarcsin(sinx)A

因此,利用“嵌套”的方式,可得:

A=0πf(sinx) dx=0π[sin2xarcsin(sinx)A] dx=0πsin2xarcsin(sinx) dxπA=0π2xsin2x dx+π2πxsin2arcsin(sinx) dxπA

继续:

A=0π2xsin2x dx+π2πxsin2arcsin(sinx) dxπA=0π2xsin2x dx+π2π(πx)sin2x dxπA

根据三角函数“奇变偶不变”的原则,y=sin2xy=sin2(πx) 的函数图象是完全重合的,且当 x(π2,π) 时,(πx)(π2,0), 因此:

A=0π2xsin2x dx+π2π(πx)sin2(πx) dxπA=0π2xsin2x dx+π20(πx)sin2(πx) d(πx)πA

继续:

A=0π2xsin2x dx+0π2tsin2t dtπA=20π2xsin2x dxπA=0π2x(1cos2x) dxπA=0π2x dx0π2xcos2x dxπA=π280π2xcos2x dxπA=π28120π2xcos2x d(2x)πA=π28120π2x d(sin2x)πA=π2812[xsin2x|0π2120π2sin2x d(2x)]πA=π28+12πA=π2+48πA

综上可知:

A=π2+48πA

A=π2+48(π+1)


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