根据微分方程求解曲率

一、题目

已知 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^{3}+2 t, \\ \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} t^{2}}-y=2 t\end{array}\right.$ 确定, 且 $\left.y\right|_{t=0}=1$, $\left.y^{\prime}\right|_{t=0}=-1$, 则曲线 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 对应点处的曲率为 ($\quad$)

难度评级：

二、解析

我们知道，曲率的计算公式为：

$$
K=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}
$$

因此，要求解出曲率就必须首先求解出函数 $y$.

由题可知：

$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} t^{2}}-y=2 t \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime} – y = 2t \tag{1}
$$

$(1)$ 式对应的齐次微分方程为：

$$
y^{\prime \prime} – y = 0
$$

对应的特征方程为：

$$
\lambda^{2} – 1 = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
\lambda_{1} = 1 \\
\lambda_{2} = -1
\end{cases}
$$

因此，对应的齐次微分方程的通解为：

$$
y=C_{1} \mathrm{e}^{-t}+C_{2} \mathrm{e}^{t}
$$

对应的非齐次微分方程的特解则为：

$$
y^{*} = 2t
$$

因此，微分方程 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} t^{2}}-y=2 t$ 的特解为：

$$
\textcolor{springgreen}{
Y=C_{1} \mathrm{e}^{-t}+C_{2} \mathrm{e}^{t}-2 t \tag{2}
}
$$

且：

$$
\textcolor{springgreen}{
Y^{\prime} = – C_{1} e^{-t} + C_{2} e^{t} – 2
} \tag{3}
$$

将 $\left.y\right|_{t=0}=1$, $\left.y^{\prime}\right|_{t=0}=-1$ 代入 $(2)$、$(3)$ 式，得：

$$
\begin{cases}
1 = C_{1} + C_{2} \\
-1 = -C_{1} + C_{2} – 2
\end{cases}
$$

于是：

$$
\begin{cases}
C_{1}=0 \\
C_{2}=1
\end{cases}
$$

即：

$$
\textcolor{springgreen}{
Y = e^{t}-2 t
}
$$

若 $x=0$, 即：

$$
t^{3}+2 t=0 \Rightarrow
$$

$$
t=0
$$

接着：

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \\
& = \frac{\mathrm{d} y / \mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x / \mathrm{d} t} \\
& = \frac{\mathrm{e}^{t}-2}{3 t^{2}+2} \Rightarrow
\end{aligned}
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{aligned}
\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{t=0} = -\frac{1}{2}
\end{aligned}
}
$$

且：

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} \\
& = \frac{\mathrm{d}\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right) / \mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x / \mathrm{d} t} \\
& = \frac{\mathrm{e}^{t}\left(3 t^{2}+2\right)-6 t\left(\mathrm{e}^{t}-2\right)}{\left(3 t^{2}+2\right)^{3}} \Rightarrow
\end{aligned}
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{aligned}
\left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=\frac{1}{4}
\end{aligned}
}
$$

综上可知，所求的曲率为：

$$
\begin{aligned}
K \\
& = \frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}} \\
& = \frac{\frac{1}{4}}{\left(1+\frac{1}{4}\right)^{\frac{3}{2}}} \\
& = \frac{2 \sqrt{5}}{25}
\end{aligned}
$$

---