遇到不显含 $x$ 的微分方程先考虑降阶

一、题目

已知 $y=y(x)$ 满足方程 $2y{y}^{\prime \prime }-y^{\prime 2}=1$ $(y>0)$, 且 $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=0$, 则 $y(x)=?$

难度评级：

二、解析

由于题目中的微分方程 $2y{y}^{\prime \prime }-y^{\prime 2}=1$ 不显含 $x$, 因此，首先进行降阶操作，将二阶微分方程降为一阶微分方程，之后，再按照一阶微分方程的计算方式完成接下来的求解。

令 $y^{\prime }=p$, 则：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{r}\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\ & =\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot p\end{array}$$

即：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& y^{\prime \prime }=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot p\end{array}$$

将 $(1)$, $(2)$ 式代入方程 $2y{y}^{\prime \prime }-y^{\prime 2}=1$, 得：

$$2yp\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}-p^2=1$$

整理，得：

$$\frac{2p}{1+p^2}\mathrm{d}p=\frac{\mathrm{d}y}{y}$$

对上式等号两边同时积分，得：

$$\ln (1+p^2)=\ln y+\ln C_1$$

对上式等号两端同时去掉对数 “$\ln$”, 得：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& 1+p^2=C_{1}y\end{array}$$

将 $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=0$ 代入 $(3)$ 式，得：

$$C_1=1$$

即：

$$y^{\prime }=\sqrt{y-1}\Rightarrow$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{y-1}}=\mathrm{d}x\end{array}$$

对 $(4)$ 式等号两端同时积分，得：

$$\begin{array}{}\text{(5)}& 2\sqrt{y-1}=x+C_2\end{array}$$

将 $y(0)=1$ 代入 $(5)$ 式，得：

$$C_2=0$$

综上可得：

$$\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{+}\frac{{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}}$$

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